Question

5．如图甲所示一长木板B放在水平地面上，木板B的右端放置一个小金属块A．在t=0时，同时给A、B初速度，小金属块A和木板B运动的v-t图象如图乙所示（细线为A的图象，粗线为B的图象）．以水平向右为正方向．已知A、B的质量相等，A与B及B与地面之间均粗糙且动摩擦因数不相同，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，A始终没有滑离B．取重力加速度g=10/m²．求：

（1）A相对于地面向左运动的最大位移x_A．
（2）A、B分别运动的时间t_A、t_B
（3）B木板的最小长度L_min．

Answer 1

分析 （1）根据图象求出A的加速度以及图象与t轴交点A的坐标，根据图象的面积求出向左运动的最大位移
（1）根据牛顿第二定律求出AB间及B与地面之间的动摩擦因素，求出3s后AB的加速度，求出各自减速到0的时间，从而求出A、B分别运动的时间t_A、t_B
（2）根据图象的面积表示位移，分别求出AB的位移，相对位移即B木板的最小长度

解答 解：（1）根据v-t图象，A的加速度${a}_{A}^{\;}=\frac{△v}{△t}=\frac{2-（-1）}{3}m/{s}_{\;}^{2}=1m/{s}_{\;}^{2}$
A先向左匀减速直线运动，经过时间${t}_{1}^{\;}$速度减为0，$v={v}_{0}^{\;}+{a}_{A}^{\;}{t}_{1}^{\;}$
${t}_{1}^{\;}=\frac{0-（-1）}{1}=1s$
A相对地面向左运动的最大位移${x}_{A}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}}{2}{t}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}×1=0.5m$
（2）根据v-t图象，${a}_{B}^{\;}=\frac{2-14}{3}=-4m/{s}_{\;}^{2}$
对A：${μ}_{1}^{\;}mg=m{a}_{A}^{\;}$
对B：${μ}_{1}^{\;}mg+{μ}_{2}^{\;}•2mg=m{a}_{B}^{\;}$
代入数据得${μ}_{1}^{\;}=0.1$
${μ}_{2}^{\;}=0.15$
假设AB共同匀减速直线运动的，根据牛顿第二定律${μ}_{2}^{\;}•2mg=2m{a}_{共}^{\;}$
得${a}_{共}^{\;}={μ}_{2}^{\;}g=1.5$$＞{μ}_{1}^{\;}g=1m/{s}_{\;}^{2}$
所以AB不可能相对静止
3s后，A向右匀减速直线运动到速度为0的时间，${t}_{A}^{′}=\frac{2}{1}=2s$
所以${t}_{A}^{\;}=3+2=5s$
B向右匀减速运动，${μ}_{2}^{\;}•2mg-{μ}_{1}^{\;}•mg=m{a}_{B}^{′}$
得${a}_{B}^{′}=2{μ}_{2}^{\;}g-{μ}_{1}^{\;}g=2m/{s}_{\;}^{2}$
3s后，B向右减速运动的时间${t}_{B}^{′}=\frac{2}{2}=1s$
所以${t}_{B}^{\;}=3+1=4s$
（3）根据“面积”表示位移，有
0～3s内B相对于A向右运动的位移为：
$△{x}_{1}^{\;}=\frac{（2+14）×3}{2}m-（\frac{2×2}{2}-\frac{1×1}{2}）m=22.5m$
3s后A相对于B向右运动的位移为：$△{x}_{2}^{\;}=\frac{1×2}{2}m=1m$
所以B的最小长度${L}_{min}^{\;}=22.5m$
答：（1）A相对于地面向左运动的最大位移0.5m．
（2）A、B分别运动的时间5s、4s
（3）B木板的最小长度22.5m

点评 分析清楚两个物体的运动情况，抓住图象的有效信息，读出时间和速度是解题的关键．由于开始时．两个物体的加速度不同，必须采用隔离法研究．