Question

8．如图所示，倾角为θ的光滑倾斜轨道在最底端与一半径为r的光滑半圆弧轨通过极短的一小段光滑曲轨道平滑连接，使半圆轨道的最高点、圆心、最低点在同一竖直线上，让一小球从倾斜轨道上某一位置由静止释放，沿倾斜轨道和半圆弧轨道运动，经过圆弧的顶点水平抛出，试判断小球有没有可能垂直落在斜面上，若能，斜面倾角应满足什么条件？若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律求出小球通过圆弧最高点的最小速度，结合运动的规律，结合几何关系求出斜面倾角θ应满足的条件．

解答 解：设小球从圆弧顶点以速度v₀抛出，经过时间t秒垂直落在斜面上，斜面的倾角为θ．如图所示
小球能通过最高点，则需满足：${v_0}≥\sqrt{gr}$
到达斜面时，满足：$cotθ=\frac{gt}{v_0}$
所以：$t=\frac{{{v_0}cotθ}}{g}$
竖直方向：$y=\frac{1}{2}g{t^2}=\frac{{v_0^2{{cot}^2}θ}}{2g}$
水平方向：$x={v_0}ttanθ={v_0}tanθ•\frac{{{v_0}cotθ}}{g}=\frac{v_0^2}{g}$
又：x+y=2r 
 联立得：$\frac{v_0^2}{g}+\frac{{v_0^2{{cot}^2}θ}}{2g}=2r$；$v_0^2=\frac{4gr}{{2+{{cot}^2}θ}}≥gr$或 $v_0^2=\frac{{4grta{n^2}θ}}{{2{{tan}^2}θ+1}}≥gr$
考虑到：4≥2+cot²θ
即：$cotθ≤\sqrt{2}$或 $tanθ≥\frac{\sqrt{2}}{2}$
所以，当斜面θ角满足$cotθ≤\sqrt{2}$或 $tanθ≥\frac{\sqrt{2}}{2}$时，其设计是可行的．
答：通过以上的分析可知，如果他的想法可行，则斜面倾角θ应满足的条件为$cotθ≤\sqrt{2}$或 $tanθ≥\frac{\sqrt{2}}{2}$；

点评 本题综合考查了动能定理与圆周运动和平抛运动的综合，知道圆周运动向心力的来源和平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律是解决本题的关键．