Question

2．如图所示，空间存在水平向右的匀强电场．在竖直平面上建立平面直角坐标，在坐标平面的第一象限内固定绝缘光滑的半径为R的$\frac{1}{4}$圆周轨道，轨道的两端在坐标轴上．质量为m的带正电的小球从轨道上端由静止开始滚下，已知重力为电场力的2倍，求：
（1）在轨道上小球获得最大速度的位置坐标；
（2）小球在轨道最低点时对轨道的压力；
（3）小球脱离轨道后，当速度竖直向下时，速度的大小和所在点的位置坐标．

Answer 1

分析 （1）当小球在轨道上的速度最大时，设此时小球所在的半径与竖直方向夹角为θ，根据几何关系即可求解；
（2）根据动能定理求出小球运动到最低点的速度，结合牛顿第二定律求出支持力的大小，从而得知小球在B点对轨道的压力．
（3）小球脱离B点后，在竖直方向上做自由落体运动，在水平方向上做加速度不变的匀减速直线运动．即可求得

解答 解：（1）由三角形的相似性得：$\frac{X}{y}=\frac{Eq}{mg}$
X²+Y²=R²
所以：位置坐标（$\frac{{\sqrt{5}}}{5}R，\frac{{2\sqrt{5}}}{5}R$）
（2）由动能定理得：$mgR-EqR=\frac{1}{2}m{V^2}$
由向心力得：${F_N}-mg=\frac{{m{V^2}}}{R}$
 由牛顿第三定律：F_N=F'_N
所以：F'_N=2mg方向竖直向下
（3）由上面可知$V=\sqrt{gR}$，
在水平方向上：Eq=ma，V²=2ax．
在竖直方向上初速度是零，水平方向上末速度是零，由$X=\frac{1}{2}a{t^2}$得：
X_竖=2x．
所以坐标为（-x，X_竖+R）
即：（-R，3R）
答：（1）在轨道上小球获得最大速度的位置坐标（$\frac{{\sqrt{5}}}{5}R，\frac{{2\sqrt{5}}}{5}R$）
（2）小球在轨道最低点时对轨道的压力2mg；
（3）小球脱离轨道后，当速度竖直向下时，速度的大小和所在点的位置坐标（-R，3R）

点评 本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律，综合性较强，关键掌握小球脱离B点后在水平方向上和竖直方向上的运动规律．