Question

19．如图所示，为一传送装置，其中AB段粗糙，AB段长为L=0.2m，动摩擦因素μ=0.6，BC、DEN段均可视为光滑，且BC的始、末端均水平，具有h=0.1m的高度差，DEN是半径为r=0.5m的半圆形轨道，其直径DN沿竖直方向，C位于DN竖直线上，CD间的距离恰能让滑块自由通过．在左端竖直墙上固定一轻质弹簧，现有一可视为质点的滑块，滑块质量m₁=1.0kg，压缩轻质弹簧至A点后由静止释放（滑块和弹簧不粘连），滑块刚好能沿DEN轨道滑到木板上，木板静止在光滑水平面MN上，木板质量为m₂=4.0kg，若滑块与木板之间的动摩擦因素μ=0.2，滑块恰好不能从木板上滑落，求：（g取10m/s²）
（1）小球到达N点时对轨道的压力；
（2）压缩的弹簧所具有的弹性势能；
（3）滑块在木板上滑动过程，由摩擦产生的热量．

Answer 1

分析 （1）滑块刚好能沿DEN轨道滑到木板上，滑块经过D点时由重力提供向心力，由牛顿第二定律求出滑块经过D点的速度．由动能定理求出滑块经过N点的速度，再由牛顿第二定律求出在N点轨道对滑块的支持力，从而得到滑块对轨道的压力．
（2）从A到D点，运用能量守恒定律求解弹簧所具有的弹性势能．
（3）滑恰好不能从木板上滑落，此时滑块与木板达到共同速度，根据牛顿第二定律、速度公式和速度相等的条件，求出共同速度．再由能量守恒求热量．

解答 解：（1）因为滑块刚好能沿DEN轨道滑下，所以在D点有：
m₁g=m₁$\frac{{v}_{D}^{2}}{r}$…①
由动能定理得：2m₁gr=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{N}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{D}^{2}$…②
在N点，由牛顿第二定律得：N-m₁g=m₁$\frac{{v}_{N}^{2}}{r}$…③
联立①②③得轨道对滑块的支持力为：N=60N
则滑块对轨道压力为：N′=N=60 N．
（2）从A到D点，由能量守恒定律得：
E_p+m₁gh-μm₁gL=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{D}^{2}$…④
代入数据得：E_p=2.7J
（3）滑恰好不能从木板上滑落，即此时滑块与木板达到共同速度v，设经历时间为t．
对滑块，有 μm₁g=m₁a₁，得：a₁=2m/s²；
对木板，有 μm₁g=m₂a₂，得：a₂=0.5m/s²；
则有：v=v_N-a₁t…⑤
v=a₂t…⑥
得：v=1m/s
因此，滑块位移为为：S₁=$\frac{{v}^{2}-{v}_{N}^{2}}{-2{a}_{1}}$，
木板位移为：S₂=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{2}}$
则有：Q=μmg（S₁-S₂）
代入解得：Q=10J
答：（1）小球到达N点时对轨道的压力是60N；
（2）压缩的弹簧所具有的弹性势能是2.7J；
（3）滑块在木板上滑动过程，由摩擦产生的热量是10J．

点评 本题综合考查了牛顿定律、动能定理和向心力知识的运用，关键要把握D点的临界条件：重力充当向心力，并掌握每个过程的规律．