Question

3．如图所示，AB为斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度v₀水平抛出，恰好落到B点，重力加速度用g表示，求：
（1）物体在空中飞行的时间及AB间的距离；
（2）从抛出开始经多少时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多少？

Answer 1

分析 （1）根据竖直位移和水平位移的关系求出物体在空中飞行的时间，根据水平位移求出AB的距离．
（2）当小球的速度方向与斜面平行，距离斜面最远，根据平行四边形定则，结合速度时间公式求出时间．将小球的速度和加速度分解为沿斜面方向和垂直斜面方向，当垂直斜面方向的速度为零，距离斜面最远，结合速度位移公式求出最远距离．

解答 解：（1）根据$tan30°=\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}=\frac{gt}{2{v}_{0}}$得，运动的时间t=$\frac{2{v}_{0}tan30°}{g}$=$\frac{2\sqrt{3}{v}_{0}}{3g}$．
AB间的距离 s=$\frac{{v}_{0}t}{cos30°}=\frac{4{{v}_{0}}^{2}}{3g}$．
（2）当小球的速度方向与斜面平行，距离斜面最远，
根据tan30°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{gt}{{v}_{0}}$，则经历的时间t=$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}}{3g}$．
将小球的速度和加速度分解为沿斜面方向和垂直斜面方向，则v_y′=v₀sinθ，a_y=gcosθ，
则最大距离H=$\frac{{v}_{y}{′}^{2}}{2{a}_{y}}=\frac{\sqrt{3}{{v}_{0}}^{2}}{12g}$．
答：（1）物体在空中飞行的时间为$\frac{2\sqrt{3}{v}_{0}}{3g}$，AB间的距离为$\frac{4{{v}_{0}}^{2}}{3g}$．
（2）从抛出开始经$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}}{3g}$时间小球与斜面间的距离最大，最大距离为$\frac{\sqrt{3}{{v}_{0}}^{2}}{12g}$．

点评 解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，结合运动学公式灵活求解，难度中等．