Question

3．一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）．A球的质量为m₁，B球的质量为m₂．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v₀．设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m₁，m₂，R与v₀应满足关系式是（m₁-m₂）$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$+（m₁+5m₂）g=0．

Answer 1

分析 根据向心力的公式求出A球在最低点受到的向心力大小．A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，即A、B两球对轨道的压力大小相等，方向相反．结合机械能守恒定律和牛顿第二定律求出m₁、m₂、R与v₀应满足的关系式．

解答 解：A球运动到最低点时速度为v₀，A球受到向下重力mg和细管向上弹力N₁的作用，其合力提供向心力．根据牛顿第二定律，得：
  N₁-m₁g=m₁$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$…①
这时B球位于最高点，设速度为v₁，B球受向下重力m₂g和细管弹力N₂作用．球作用于细管的力是N₁、N₂的反作用力，要求两球作用于细管的合力为零，即要求N₂与N₁等值反向，N₁=N₂…②，
且N₂方向一定向下，
对B球：N₂+m₂g=m₂$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$…③
B球由最高点运动到最低点时速度为V₀，此过程中机械能守恒定律，得：$\frac{1}{2}$m₂v₁²+m₂g•2R=$\frac{1}{2}$m₂v₀²…④
 由①②③④式消去N₁、N₂和V₁后得到m₁、m₂、R与V₀满足的关系式是：（m₁-m₂）$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$+（m₁+5m₂）g=0
故答案为：（m₁-m₂）$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$+（m₁+5m₂）g=0．

点评 本题是牛顿第二定律和机械能守恒定律的结合，关键要正确分析向心力的来源，明确在轨道的最高点和最低点，由合力提供向心力．