Question

6．如图所示，水平虚线MN下方有一竖直向上的匀强电场，一根轻质绝缘杆（质量不计）两端分别套有A、B两个小球，A球的质量为m，带正电，在匀强电场中受到的电场力为其重力大小的3倍，A球和杆间的滑动摩擦力的大小等于其重力大小．B球的质量为3m，不带电，B球和杆间的滑动摩擦力大小也等于其重力大小，设两球的最大静摩擦力均等于滑动摩擦力，重力加速度为g．开始时A、B球和杆均静止，A球距MN高度为h，同时释放A、B两球和杆，当A球第二次进入电场区域时，A、B两球恰好相遇，运动过程中杆始终保持竖直状态．求：
（1）A球运动过程中的最大电势能（设MN处电势为零）；
（2）从A球第一次进入电场到A球第二次进入电场的过程中经历的时间及杆的长度．

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒求出A到达MN时的速度，A进入电场后，由牛顿第二定律求出加速度，由运动学的公式即可求出A在电场中的位移，由电场力做功即可求出电势能的变化；
（2）由△v=a△t求出A的速度减小为0的时间，然后对B进行受力分析，求出B的加速度，由运动学的公式求出B的速度和位移；
此后A向上做加速运动，求出其加速度以及返回MN的时间；重新分析A在MN以上的受力，由牛顿第二定律求出加速度以及向上运动的时间；同理分析B的运动；
A向上到达最高点后再向下运动，结合受力分析，求出对应的时间，再求出B的位移．最后由几何关系求出杆的长度．

解答 解：（1）设A球开始进入电场的速度为v₀，根据机械能守恒得：
$4mgh=\frac{1}{2}•4m{v}_{0}^{2}$
所以：${v}_{0}=\sqrt{2gh}$
A球在电场中受到的电场力是重力的3倍，即F=3mg，则A球向下做减速运动，相对于杆向上运动，A球的受力如图1，所以：

F-mg-f_A=ma_A1
其中：f_A=mg
结合已知的条件得：a_A1=g方向竖直向上
A球减速到速度等于0的时间：${t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{{a}_{A1}}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$
向下运动的位移：${x}_{A1}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{A1}}$
联立得：x_A1=h
电场力对A球做负功，W=-Fh=-3mgh
该过程中A的电势能增大，所以A球的最大电势能为3mgh
（2）杆的质量为0，所以杆受到的合力为0，A球对杆有向上的摩擦力，大小为f_A=mg，所以B对杆有向下的摩擦力，大小也是mg，小于B与杆之间的最大静摩擦力，所以B与杆相对静止，对B球和杆受力分析如图2，B球和杆一起向下做加速运动，有：
3mg-f_A=3ma_B
联立得：${a}_{B}=\frac{2g}{3}$
在A球的速度减小为0时，B球和杆的速度为：${v}_{B1}={v}_{0}+{a}_{B}{t}_{1}=\frac{5}{3}\sqrt{2gh}$
位移：${x}_{B1}={v}_{0}t+\frac{1}{2}{a}_{B}{t}_{1}^{2}=\frac{8}{3}h$
A球的速度减小为0后向上做匀加速直线运动，仍然受到向上的电场力和向下的摩擦力，所以A的加速度不变，则：a_A2=a_A1=g
再经过时间t₂=${t}_{1}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$的时间，A向上以受到v₀经过水平线MN，则x_A2=h
此过程中B和杆始终向下做匀加速直线运动，加速度不变；
A球向上离开MN时，B的速度：v_B2=v_B1+a_Bt₂
整理得：${v}_{B2}=\frac{7}{3}\sqrt{2gh}$
向下运动的位移：${x}_{B2}=\frac{（{v}_{B1}+{v}_{B2}）}{2}•{t}_{2}=4h$
A球向上减速到0的过程中，受到向下的重力和摩擦力的作用，做减速运动，此时：f_A+mg=ma_A3
得：a_A3=2g，加速度的方向向下，
A向上减速到0的过程中经历的时间：${t}_{3}=\frac{{v}_{0}}{{a}_{A3}}=\sqrt{\frac{h}{2g}}$
向上运动的位移：${x}_{A3}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{A3}}=\frac{h}{2}$
A的速度为0时，B和杆的速度：v_B3=v_B2+a_Bt₃
整理得：${v}_{B3}=\frac{8}{3}\sqrt{2gh}$
向下运动的位移：${x}_{B3}=\frac{（{v}_{B2}+{v}_{B3}）}{2}•{t}_{3}=\frac{5}{2}h$
A球向上减速为0后受到向下的重力和摩擦力的作用，做加速运动，此时的加速度与向上减速的加速度相等：a_A4=a_A3=2g，加速度的方向向下，
向下运动到达MN的时间：${t}_{4}={t}_{3}=\sqrt{\frac{h}{2g}}$
向下的位移：${x}_{A4}={x}_{A3}=\frac{1}{2}h$，此时第二次进入电场．
B球和杆向下的速度：${v}_{B4}={v}_{B3}+{a}_{B}{t}_{4}=3\sqrt{2gh}$
向下的位移：${x}_{B4}=\frac{（{v}_{B3}+{v}_{B4}）}{2}•{t}_{4}$
联立得：${x}_{B4}=\frac{17}{6}h$
从A球第一次进入电场到A球第二次进入电场，A、B两球的运动曲线如图3，该过程的总时间：

t=t₁+t₂+t₃+t₄
杆的长度：l=（x_B1-x_A1）+（x_B2-x_A2）+（x_B3-x_A3）+（x_B4-x_A4）
联立得：t=$3\sqrt{\frac{2h}{g}}$，l=12h
答：（1）A球运动过程中的最大电势能是3mgh；
（2）从A球第一次进入电场到A球第二次进入电场的过程中经历的时间是$3\sqrt{\frac{2h}{g}}$，杆的长度是12h．

点评 本题有一定的难度，要注意受力的变化导致加速度变化，运动过程要分析清楚，分阶段计算，比较好．