Question

18．一列汽车车队以V₁=10m/s的速度匀速行驶，相邻车间距为25m，后面有一辆摩托车以V₂=20m/s的速度同向行驶，当它与车队最后一辆车相距S₀=25m时刹车，以a=0.5m/s²的加速度做匀减速直线运动，摩托车从车队旁边行驶而过，设车队车辆数n足够多，问：
（1）摩托车从开始刹车经过多长时间能第一次追上汽车车队的最后一辆车？
（2）摩托车最多与几辆汽车相遇？摩托车与车队中汽车共相遇几次？
（3）摩托车从赶上车队到离开车队，共经历多少时间？

Answer 1

分析 （1）根据匀变速直线运动的位移公式和匀速直线运动位移公式分别表示出摩托车的位移和最后一辆汽车的位移，
结合二者位移关系求出摩托车开始刹车追上最后一辆汽车的时间；
（2）由速度公式求出当摩托车速度减为10m/s时所用的时间，由速度位移公式分别求出此过程汽车和摩托车的位移，
进而得到摩托车与最后一辆汽车的距离，又知道相邻车间距，进而求出摩托车相遇的汽车数以及摩托车与车队中汽车共相遇的次数；
（3）由（1）可知摩托车追上汽车车队最后一辆车所用的时间和汽车车队最后一辆车超过摩托车的所用的时间，
二者之差即为摩托车从赶上车队到离开车队共经历的时间．

解答 解：（1）设摩托车从开始刹车到追上汽车车队的最后一辆汽车所用的时间为t，
摩托车的位移：x_摩=v₂t-$\frac{1}{2}$at²，
最后一辆汽车的位移：x_汽=v₁t，
则两车位移关系满足：x_摩=x_汽+s₀，
即：v₂t-$\frac{1}{2}$at²=v₁t+s₀，
代入数据得，20×t₁-$\frac{1}{2}$×0.5×${t}_{1}^{2}$=10×t₁+25，
解得：t₁=（20-10$\sqrt{3}$）s；t₂=（20+10$\sqrt{3}$）s；
若t₂=（20+10$\sqrt{3}$）s，
则由v=v₀-at得，摩托车追上最后一辆汽车的速度：
${v}_{2}^{′}$=v₂-at₂=（10-5$\sqrt{3}$）m/s＜v₁，不符合追上的实际情况，故舍去．
所以摩托车追上最后一辆汽车所用的时间：t=t₁=（20-10$\sqrt{3}$）s．
（2）由速度时间公式v₂′=v₂-at′得，摩托车速度减为10m/s时所用的时间：
t′=$\frac{{v}_{2}-{v}_{2}^{′}}{a}$=$\frac{20-10}{0.5}$s=20s，
由速度位移公式${v}_{2}^{′2}$-v₂²═-2ax₂得，摩托车行驶的位移：
x₂=$\frac{{v}_{2}^{2}-{v}_{2}^{′2}}{2a}$=$\frac{2{0}^{2}-1{0}^{2}}{2×0.5}$m=300m，
汽车的位移：x₁=v₁t′=10×20m=200m，
则摩托车与最后一辆汽车的距离：
△x=x₂-x₁-s₀=（300-200-25）m=75m，
则摩托车相遇的汽车数：n′=$\frac{75}{25}$+1=4辆．
故摩托车与车队中汽车共相遇的次数：N=2（n′-1）+1=7次．
（3）由（1）可知，t₁=（20-10$\sqrt{3}$）s即为摩托车追上汽车车队最后一辆车所用的时间，
t₂=（20+10$\sqrt{3}$）s即为汽车车队最后一辆车超过摩托车的所用的时间，
则摩托车从赶上车队到离开车队共经历的时间：△t=t₂-t₁=20$\sqrt{3}$s．
答：（1）摩托车从开始刹车经过10（2-$\sqrt{3}$）s能第一次追上汽车车队的最后一辆车；
（2）摩托车最多与4辆汽车相遇，摩托车与车队中汽车共相遇7次．
（3）摩托车从赶上车队到离开车队，共经历20$\sqrt{3}$s的时间．

点评 本题是相遇问题，根据对两物体运动过程的分析，画出两物体运动的情景图，抓住汽车和摩托车之间的位移关系是求解的关键，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰巧”、“最多”、“至少”等，若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已停止运动，结合运动学公式灵活求解．