Question

14．如图所示，在直角坐标系的原点O处有一放射源，沿着纸面向四周均匀发射速度大小均为v的带正电粒子，在放射源右边有一垂直于x轴放置一块薄板挡板，挡板与xOy平面交线的两端M、N与原点O正好处于等腰直角三角形三个顶点上．已知带电粒子的质量为m，所带的电荷量为q，M、N两点间的距离为L．不计粒子重力）
（1）若在y轴的右侧加一平行于x轴的匀强电场，使所有y轴右侧射出的粒子都能打到挡板MN上，求电场强度的最小值E₀及在电场强度为E₀时，打到板上的粒子动能E_K．
（2）若在整个空间加一垂直纸面向里的匀强磁场，使挡板MN的右侧各点都有粒子打到板上，求匀强磁场的磁感应强度的最大值B₀及在磁感应强度为B₀的匀强磁场中，放射源O向外发射出的所有带电粒子的总数是打在板右侧的粒子总数的多少倍．

Answer 1

分析 （1）要使y轴右侧所有运动粒子都能打在 MN板上，其临界条件为：沿y轴方向运动的粒子作类平抛运动，且落在M或N点．根据牛顿第二定律求出电场强度的最小值，根据动能定理求解打到板上粒子的动能．
（2）加匀强磁场后，粒子沿逆时针方向做匀速圆周运动，当轨迹以O′为圆心同时过M、N两点时，轨迹直径最小，得到粒子圆周运动的半径，由牛顿第二定律求出B的最大值．根据粒子的运动情况求出粒子数之比．

解答 解：（1）当沿y轴方向运动的粒子作类平抛运动，且落在M或N点，则y轴右侧所有运动的粒子都能打在MN上，有：
 $\frac{1}{2}$L=vt
 $\frac{1}{2}$L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
其中 加速度a=$\frac{q{E}_{0}}{m}$
解得 E₀=$\frac{4m{v}_{0}^{2}}{qL}$
由动能定理知：
qE₀×$\frac{1}{2}$L=E_k-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：E_k=$\frac{5}{2}m{v}^{2}$
（2）由题意知，要使MN板右侧均有粒子打到，则粒子轨迹直径的最小值为MN板的长度L，有：R_min=$\frac{1}{2}L$
又 R_min=$\frac{mv}{q{B}_{0}}$
解得 B₀=$\frac{2mv}{qL}$
放射源O发射出的粒子中，打在MN板上的粒子的临界径迹如图所示．
由题意知 OM=ON，且OM⊥ON
故可知 OO₁⊥OO₂
得 υ₁⊥υ₂
则放射源O向外发射出的所有带电粒子的总数是打在板右侧的粒子总数的倍数为 k=$\frac{360°}{90°}$=4．
答：
（1）电场强度的最小值E₀为$\frac{4m{v}_{0}^{2}}{qL}$，在电场强度为E₀时，打到板上的粒子动能E_K为$\frac{5}{2}m{v}^{2}$．
（2）放射源O向外发射出的所有带电粒子的总数是打在板右侧的粒子总数的4倍．

点评 本题中粒子在电场中做类平抛运动时运用运动的合成和分解法研究，在磁场中要通过画出轨迹，确定临界条件求解磁感应强度．