Question

4．完全相同的十三个扁长木块紧挨着放在水平地面上，如图所示，每个木块的质量m=0.40kg，长度L=0.5m，它们与地面间的动摩擦因数为μ₁=0.10，原来所有木块处于静止状态，左方第一个木块的左端上方放一质量为M=1.0kg的小铅块，它与木块间的动摩擦因数为μ₂=0.20．物体所受最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，现突然给铅块一向右的初速度v₀=5m/s，使其开始在木块上滑行．（重力加速度g=10m/s²，设铅块的长度与木块长度L相比可以忽略．）
（1）铅块在第几块木块上运动时，能带动它右面的木块一起运动？
（2）判断小铅块最终是否滑上第13块木块上？

Answer 1

分析 （1）铅块在木块上滑行时，当铅块对木块的滑动摩擦力等于木块所受的最大静摩擦力时，恰好能带动它右面的木块一起运动．
（2）根据上题的结果，运用动能定理列式求出铅块滑上该木块左端时的速度，由牛顿第二定律求出铅块和已滑动的木块整体的加速度．由运动学公式求出铅块相对木块静止时滑行的距离，即可进行判断．

解答 解：（1）木块受到铅块提供的滑动摩擦力为
     f₀=μ₂Mg=2.0N
有铅块的那个木块与地面间的最大静摩擦力为 
    f₁=μ₁（M+m）g=1.4N
其余每个木块与地面间的最大静摩擦力为
    f₂=μ₁mg=0.4N
设铅块到第n个木块时，第n个木块及后面的木块开始在地面上滑动，则
  f₀＞（13-n）f₂+f₁，
 得 n＞11.5
即当铅块滑到第12个木块左端时，12、13两木块开始在地面上滑动．
（2）铅块刚滑上第12个木块左端时的速度v₁，由动能定理得
-μ₂Mg•11L=$\frac{1}{2}M{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}M{v}_{0}^{2}$
解得 v₁=$\sqrt{3}$m/s
铅块滑动的加速度 a₀=-$\frac{{μ}_{2}Mg}{M}$=-μ₂g=-2m/s²
此时第12、13的加速度 a₁=$\frac{{μ}_{2}Mg-{μ}_{1}（M+2m）g}{2m}$=0.25m/s²
以第12、13两木块为参考系，铅块滑到第12个木块右端时相对木块的速度v₂满足 
    ${v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}$=2（a₀-a₁）L
解得，v₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m/s＞0
故铅块可以滑上第13个木块．
答：（1）铅块在第12块木块上运动时，能带动它右面的木块一起运动．
（2）小铅块最终能滑上第13块木块上．

点评 本题的关键要通过分析受力情况，判断木块的状态，运用牛顿第二定律、运动学和动能定理、摩擦力公式等等知识边计算边分析．