Question

8．如图所示，倾角为30^o的光滑斜面AB长L₁=0.4m，B端距水平地面h=0.8m，O在B点的正下方，B点右端接一光滑小圆弧（图上未画出），圆弧右端切线水平，且与一长L₂=1.0m的水平木板MN平滑连接．小滑块从A端由静止释放后运动到N端恰好停止．
（1）求滑块到达B点速度v_B的大小；
（2）求滑块与木板MN之间的动摩擦因数μ；
（3）若将木板右侧截去长为△L的一段，滑块从A端由静止释放后将滑离木板，落在水平地面上某点P（图中未标出）．求落地点P距O点的距离范围．

Answer 1

分析 （1）滑块在斜面上做匀加速运动，由牛顿第二定律求得加速度，再由速度位移公式求滑块到达B点速度v_B的大小；或根据机械能守恒定律列式求解B点速度．
（2）滑块从M到N过程中，滑动摩擦力对滑块做负功，根据动能定理求出木板与滑块的动摩擦因数；
（3）若将木板右端截去长为△L的一段，根据动能定理求出滑块滑到木板右端的速度，由平抛运动知识得出落地点P距O点的距离与△L的关系，由数学知识求出此距离的范围．

解答 解：（1）滑块在斜面上做匀加速运动，根据机械能守恒定律得：
mgL₁sin30°=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$            
代入数据解得：v_B=2m/s
（2）滑块在水平面上做匀减速运动，滑块从M运动到N过程中所受的摩擦力大小为：f=μN=μmg
根据动能定理得：-fL₂=0-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$ 
代入数据解得：μ=0.2
（3）解法一：
设木板右侧截取长度为△L后，则滑块离开木板后做平抛运动，设平抛的初速度为v₀，则：
  ${v}_{0}^{2}-{v}_{B}^{2}$=-2a₂（L₂-△L）
得 v₀=$\sqrt{{v}_{B}^{2}-2{a}_{2}（{L}_{2}-△L）}$
又 h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x=v₀t=$\sqrt{[{v}_{B}^{2}-2{a}_{2}（{L}_{2}-△L）\frac{2h}{g}}$
代入数据得：x=0.8$\sqrt{△L}$
落地点P距O点的距离 S=L₂-△L+x=L₂-△L+0.8$\sqrt{△L}$    
$\sqrt{△L}$的取值范围为（0，1]，由抛物线图象或二次函数极值求解可得  
当$\sqrt{△L}$=0.4时，即△L=0.16m时，S有最大值为：S_max=1.16m     
当$\sqrt{△L}$=1时，即△L=1m时，S有最小值为：S_min=0.8m
所以 0.8m≤S≤1.16m
解法二：设木板右侧截取长度为△L后，则滑块离开木板后做平抛运动，设平抛的初速度为v₀，由逆向思维，有：
${v}_{0}^{2}$=2μg△L
再做平抛运动，有：
S=L₂-△L+v₀t=L₂-△L+0.8$\sqrt{△L}$
$\sqrt{△L}$的取值范围为（0，1]，由抛物线图象或二次函数极值求解可得      
当$\sqrt{△L}$=0.4时，即△L=0.16m时，S有最大值为：S_max=1.16m
当$\sqrt{△L}$=1时，即△L=1m时，S有最小值为：S_min=0.8m 
解得：0.8m≤S≤1.16m
答：（1）滑块到达B点速度v_B的大小是2m/s．
（2）滑块与木板MN之间的动摩擦因数μ是0.2．
（3）落地点P距O点的距离范围为0.8m≤S≤1.16m．

点评 此题前两问是常规题，是机械能守恒和动能定理综合．第（3）问，运用数学知识列式，求解物理极值，是常用的函数法．