Question

5．如图所示，真空中的矩形abcd区域内存在竖直向下的匀强电场，半径为R的圆形区域内同时存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，圆形边界分别相切于ad、bc边的中点e、f．一带电粒子以初速度v₀沿着ef方向射入该区域后能做直线运动；当撤去磁场并保留电场，粒子以相同的初速度沿着ef方向射入恰能从c点飞离该区域．已知ad=bc=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$R，忽略粒子的重力．求：
（1）带电粒子的电荷量q与质量m的比值$\frac{q}{m}$；
（2）若撤去电场保留磁场，求粒子离开矩形区域时的位置与b点的距离．

Answer 1

分析 （1）本题先分析带电粒子的运动情况，并把握每个过程遵守的规律：未撤去磁场时，带电粒子做匀速直线运动，电场力与洛伦兹力平衡；撤去磁场后，带电粒子做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，已知水平距离x=2R，竖直距离y=$\frac{1}{2}$bc=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$R，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求出比荷．
（2）若撤去电场保留磁场，粒子将在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可求得轨迹半径，画出轨迹，由几何关系求出粒子离开矩形区域时的位置．

解答 解：（1）设匀强电场强度为E，当电场和磁场同时存在时，
粒子沿ef方向做直线运动，有：qv₀B=qE，
当撤去磁场，保留电场时，带电粒子做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，
竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，由题，粒子恰能从c点飞出，
则 水平方向有：2R=v₀t，竖直方向有：$\frac{1}{2}$bc=$\frac{1}{2}$at²，
由牛顿第二定律得：qE=ma，解得：$\frac{q}{m}$=$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}}{3BR}$；
（2）若撤去电场保留磁场，粒子将在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图所示．
设粒子离开矩形区域时的位置g离b的距离为x，则由牛顿第二定律：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：r=$\sqrt{3}$R，
由图中几何关系得，粒子的轨迹半径为：r=Rtanθ=$\sqrt{3}$R，解得：θ=60°，
故粒子离开磁场时到b的距离为：x=$\frac{1}{2}$ab-$\frac{1}{2}$bc•cotθ，解得：x=$\frac{R}{3}$；
答：（1）带电粒子的电荷量q与质量m的比值$\frac{q}{m}$为$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}}{3BR}$；
（2）若撤去电场保留磁场，求粒子离开矩形区域时的位置与b点的距离为$\frac{R}{3}$．

点评 本题中带电粒子在复合场中运动，分析受力情况和运动情况是基础，磁场中关键画出轨迹，运用几何知识求解轨迹半径．