Question

质量为m的小球悬挂于O点，悬线长为l，如图建立平面直角坐标系xOy，y轴沿悬线竖直向下．现将小球拉到（l，0）点后无初速释放，不计空气阻力和钉子的直径，试计算：
（1）如果在（0，l）点钉一枚钉子可以挡住细线，那么细线刚碰到钉子后对小球的拉力是多大？
（2）如果将钉子钉在y=

l

2

的水平虚线上某位置，要求细线碰到钉子后能够绕钉子做圆周运动通过最高点，那么钉子所钉的位置的横坐标x应该满足什么条件？

Answer 1

分析：（1）根据机械能守恒定律求解出最低点速度，然后根据牛顿第二定律列式求解；
（2）碰钉子后的圆周运动的半径越小越容易满足条件；根据机械能守恒定律和牛顿第二定律分别列式后联立求解出临界半径．

解答：解：（1）设小球摆到竖直位置时速度大小为v．
由机械能守恒得：mgl=

1

2

mv2；
与钉子碰后：F-mg=m

v2

1 2 r

；
解得：F=5mg；
（2）设小球恰能通过最高点时绕钉子转动的半径为r′，在最高点的速度大小为v′
则在最高点，有mg=m

v′2

r′

由机械能守恒：mg（

1

2

l-r′）=

1

2

mv′2
联立解得：r′=

1

3

l
设钉子横坐标x₁，根据几何关系，有：
 

x

2 1

+(

l

2

)2=（l-r′）²，
解得x₁=±

7

6

l
由于钉子必定在以O圆心半径为l的圆内，设直线y=

1

2

l与该圆的交战横坐标为x₂，则有
 

x

2 2

+(

1

2

l)2=l² 
解得x₂=±

3

2

l
所以要使小球够绕钉子做圆周运动通过最高点，钉子在直线y=

l

2

的横坐标范围为：-

3

2

l＜x≤-

7

6

l或

7

6

l≤x＜

3

2

l
答：（1）当钉子在（0，

l

2

）点时，细线刚碰到钉子时的拉力为5mg；
（2）钉子所钉的位置的横坐标x的范围为：-

3

2

l＜x≤-

7

6

l或

7

6

l≤x＜

3

2

l．

点评：本题关键找出临界过程，然后根据机械能守恒定律和牛顿第二定律列式后联立求解，不难．