Question

7．如图所示，竖直平面内有一半径为r、内阻为R₁、粗细均匀的光滑半圆形金属环，在M、N处与相距为2r、电阻不计的平行光滑金属轨 道ME、NF相接，EF之间接有电阻R₂，已知R₁=12R，R₂=4R．在MN上方及CD下方有水平方向的匀强磁场I和Ⅱ，磁感应强度大小均为B．现有质量为m、电阻不计的导体棒ab，从半圆环的最高点A处由静止下落，在下落过程中导体棒始终保持水平，与半圆形金属环及轨道接触良好，平行轨道中部高度足够长．已知导体棒ab 下落$\frac{r}{2}$时的速度大小为v₁，下落到MN处的速度大小为v₂．
（1）求导体棒ab从A下落$\frac{r}{2}$时的加速度大小；
（2）若导体棒ab进入磁场Ⅱ后棒中电流大小始终不变，求磁场I和Ⅱ之间的距离h和R₂上的电功率P₂；
（3）若将磁场Ⅱ的CD边界略微下移，导体棒ab刚进入磁场Ⅱ时速度大小为v₃，要使其在外力F作用下向下做匀加速直线运动，加速度大小为a，求所加外力F随时间变化的关系式．

Answer 1

分析 （1）导体棒受到重力和安培力的作用，注意此时导体棒的有效切割长度和外电路的串并联情况．
（2）导体棒ab进入磁场II后棒中电流大小始终不变，说明导体棒匀速运动，导体棒在下落h的过程中做匀变速直线运动，根据运动规律可求出下落距离h，根据并联电路可知R₂上消耗的功率占整个电路的$\frac{3}{4}$，总电功率等于导体棒重力功率．
（3）正确进行受力分析，注意安培力的表达式，然后根据牛顿第二定律求解即可．

解答 解：（1）以导体棒为研究对象，棒在磁场I中切割磁感线，棒中产生产生感应电动势，导体棒ab从A下落 $\frac{r}{2}$时，导体棒在重力与安培力作用下做加速运动，由牛顿第二定律，得：
mg-BIL=ma，式中l=$\sqrt{3}$r，I=$\frac{Bl{v}_{1}^{\;}}{{R}_{总}^{\;}}$当导体棒ab下落 $\frac{r}{2}$时，由几何关系可知，棒ab以上的圆弧的长度是半圆的总长度的 $\frac{2}{3}$，所以ab以上的部分，电阻值是8R，ab以下的部分的电阻值是4R+4R，
式中：R总=$\frac{8R×（4R+4R）}{8R+（4R+4R）}=4R$
由以上各式可得到：a=g-$\frac{3{B}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}{v}_{1}^{\;}}{4mR}$故导体棒ab从A下落 $\frac{r}{2}$时的加速度大小为：a=g-$\frac{3{B}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}{v}_{1}^{\;}}{4mR}$．
（2）当导体棒ab通过磁场II时，若安培力恰好等于重力，棒中电流大小始终不变，即：mg=BI×2r=B×$\frac{B×2r×{v}_{t}^{\;}}{{R}_{并}^{\;}}$×2r=$\frac{4{B}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}{v}_{t}^{\;}}{{R}_{并}^{\;}}$
式中：R并=$\frac{12R×4R}{12R+4R}$=3R
解得：v_t=$\frac{mg{R}_{并}^{\;}}{4{B}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}}=\frac{3mgR}{4{B}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}}$
导体棒从MN到CD做加速度为g的匀加速直线运动，有v_t²-v₂²=2gh，
得：h=$\frac{9{m}_{\;}^{2}g{r}_{\;}^{2}}{32{B}_{\;}^{4}{r}_{\;}^{4}}$-$\frac{{v}_{2}^{2}}{2g}$，
此时导体棒重力的功率为：P_G=mgv_t=$\frac{3{m}_{\;}^{2}{g}_{\;}^{2}R}{4{B}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}}$，
根据能量守恒定律，此时导体棒重力的功率全部转化为电路中的电功率，即P_电=P₁+P₂=P_G=$\frac{3{m}_{\;}^{2}{g}_{\;}^{2}R}{4{B}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}}$，
所以，P₂=$\frac{3}{4}$PG=$\frac{9{m}_{\;}^{2}{g}_{\;}^{2}R}{16{B}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}}$，
故磁场I和II之间的距离h=$\frac{9{m}_{\;}^{2}g{R}_{\;}^{2}}{32{B}_{\;}^{4}{r}_{\;}^{4}}$-$\frac{{v}_{2}^{2}}{2g}$，和R₂上的电功率P₂=$\frac{9{m}_{\;}^{2}{g}_{\;}^{2}R}{16{B}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}}$．
（3）设导体棒ab进入磁场II后经过时间t的速度大小为v'_t，此时安培力大小为：F′=$\frac{4{B}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}{v}_{t}^{′}}{3R}$由于导体棒ab做匀加速直线运动，有v'_t=v₃+at
根据牛顿第二定律，有
F+mg-F′=ma
即：F+mg-$\frac{4{B}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}（{v}_{3}^{\;}+at）}{3R}$=ma
由以上各式解得：F=$\frac{4{B}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}}{3R}$（at+v₃）-m（g-a）=$\frac{4{B}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}}{3R}$t+$\frac{4{B}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}{v}_{3}^{\;}}{3R}$+ma-mg
故所加外力F随时间变化的关系式为：F=$\frac{4{B}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}a}{3R}$t+$\frac{4{B}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}{v}_{3}^{\;}}{3R}$+ma-mg
答：（1）导体棒ab从A下落$\frac{r}{2}$时的加速度大小为$g-\frac{3{B}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}{v}_{1}^{\;}}{4mR}$；
（2）若导体棒ab进入磁场Ⅱ后棒中电流大小始终不变，磁场I和Ⅱ之间的距离h为$\frac{9{m}_{\;}^{2}g{r}_{\;}^{2}}{32{B}_{\;}^{4}{r}_{\;}^{4}}-\frac{{v}_{2}^{2}}{2g}$和R₂上的电功率${P}_{2}^{\;}$为$\frac{9{m}_{\;}^{2}{g}_{\;}^{2}R}{16{B}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}}$；
（3）若将磁场Ⅱ的CD边界略微下移，导体棒ab刚进入磁场Ⅱ时速度大小为v₃，要使其在外力F作用下向下做匀加速直线运动，加速度大小为a，所加外力F随时间变化的关系式$F=\frac{4{B}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}a}{3R}t+\frac{4{B}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}{v}_{3}^{\;}}{3R}+ma-mg$．

点评 本题考查了关于电磁感应的复杂问题，对于这类问题一定要做好电流、安培力、运动情况、功能关系这四个方面的问题分析．