Question

5．如图所示，虚线左方为磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面水平向外．右方为匀强电场，电场方向沿纸面竖直向下，电场宽度为磁场宽度的$\sqrt{2}$倍．一个带电粒子（重力不计）从左方O₁处以速度v沿纸面水平向右射入该磁场；另一个完全相同的带电粒子从O₂处（O₁和O₂在同一水平线上）同时以同样大小的速度沿纸面水平向左射入该电场，两粒子都从磁场和电场边界的P点分别射出磁场和电场，已知从磁场射出的粒子的出射方向与入射方向成θ₁=60°的夹角（图中未画出）．求：
（1）电场的电场强度；
（2）带电粒子穿过磁场和穿过电场的时间的比值；
（3）穿过电场的带电粒子穿出电场时的速度方向．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律并结合几何关系列式；在电场中类似平抛运动，根据类平抛运动的分运动公式列式；最后联立求解；
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据公式t=$\frac{θ}{2π}T$列式求解时间；粒子在电场中做类似平抛运动，根据分运动公式列式求解时间；
（3）粒子在电场中做类似平抛运动，根据分速度公式列式后联立求解即可．

解答 解：（1）电场宽度为磁场宽度的$\sqrt{2}$倍，设磁场宽度为d，则电场的宽度为$\sqrt{2}d$．
对穿过磁场的带电粒子，有：
$qvB=m\frac{v^2}{R}$    ①
作出轨迹，如图所示：

d=Rsinθ₁          ②
h=R（1-cosθ₁）     ③
对穿过电场的带电粒子，有：
$\sqrt{2}$d=vt₂          ④
$h=\frac{1}{2}at_2^2$          ⑤
根据牛顿第二定律，有：
Eq=ma             ⑥
联立以上各式解得：
$E=\frac{2}{3}Bv$          ⑦
（2）对穿过磁场的带电粒子，有：
$T=\frac{2πm}{qB}$        ⑧
轨迹圆的圆心角为60°，故：
${t_1}=\frac{T}{6}$         ⑨
对穿过电场的带电粒子，根据④⑤⑥⑦，有：
${t_2}=\frac{{\sqrt{6}m}}{2qB}$ 
联立解得：
$\frac{t_1}{t_2}=\frac{{\sqrt{6}π}}{9}$
（3）对穿过电场的带电粒子，设穿出电场时速度方向与进入电场时的速度方向间的夹角为θ₂，有：
v₁=at₂
$tan{θ_2}=\frac{v_1}{v}$
联立解得：
$tan{θ_2}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
故θ₂=39.2°
答：（1）电场的电场强度为$\frac{2}{3}Bv$；
（2）带电粒子穿过磁场和穿过电场的时间的比值为$\frac{\sqrt{6}π}{9}$；
（3）穿过电场的带电粒子穿出电场时的速度方向偏转角为39.2°．

点评 本题关键是明确粒子的受力情况和运动情况，根据牛顿第二定律和类似平抛运动的分运动公式列式求解，中间变量较多，难度不大．