Question

9．光滑水平面上排列着三个等大的球心共线的弹性小球，质量分别为m₁、m₂、m₃．现给1号球一个水平速度v₀．于是，1号球与2号球、2号球与3号球依次发生碰撞，碰撞过程无机械能守恒．（即完全弹性碰撞）
①求最终三个球的速度．（每两个球只发生一次碰撞）
②若1、3号球质量m₁，m₃已知，要3号球碰后速度最大，则2号球质量m₂为多大．

Answer 1

分析 （1）任意两球碰撞过程动量守恒、机械能守恒，由动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出球的速度．
（2）根据3号球的速度表达式应用数学知识求出何时它的速度最大．

解答 解：（1）m₁、m₂碰撞过程系统动量守恒，以m₁的初速度方向为正方向，
由动量守恒定律得：m₁v₀=m₁v₁+m₂v，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$m₁v₀²=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₂v²，
解得：v₁=$\frac{{（m}_{1}-{m}_{2}）{v}_{0}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$，v=$\frac{2{m}_{1}{v}_{0}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$；
m₂、m₃碰撞过程系统动量守恒，以m₂的初速度方向为正方向，
由动量守恒定律得：m₂v=m₂v₂+m₃v₃，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$m₂v²=$\frac{1}{2}$m₂v₂²+$\frac{1}{2}$m₃v₃²，
解得：v₂=$\frac{2{m}_{1}（{m}_{2}-{m}_{3}）{v}_{0}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）（{m}_{2}+{m}_{3}）}$，v₃=$\frac{4{m}_{1}{v}_{0}}{{m}_{1}+{m}_{2}+{m}_{3}+\frac{{m}_{1}{m}_{3}}{{m}_{2}}}$；
（2）由（1）可知，v₃=$\frac{4{m}_{1}{v}_{0}}{{m}_{1}+{m}_{2}+{m}_{3}+\frac{{m}_{1}{m}_{3}}{{m}_{2}}}$，
当m₂=$\frac{{m}_{1}{m}_{3}}{{m}_{2}}$时，v₃的值最大，m₂=$\sqrt{{m}_{1}{m}_{3}}$；
答：（1）最终三个球的速度大小分别为$\frac{{（m}_{1}-{m}_{2}）{v}_{0}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$、$\frac{2{m}_{1}（{m}_{2}-{m}_{3}）{v}_{0}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）（{m}_{2}+{m}_{3}）}$、$\frac{4{m}_{1}{v}_{0}}{{m}_{1}+{m}_{2}+{m}_{3}+\frac{{m}_{1}{m}_{3}}{{m}_{2}}}$；
（2）2号球质量m₂为$\sqrt{{m}_{1}{m}_{3}}$时3号球碰后速度最大．

点评 本题考查了求球的速度，分析清楚球的运动过程，应用动量守恒定律与机械能守恒定律即可正确解题．