Question

19．如图所示，竖直光滑管形圆轨道半径为R（管径远小于R）固定，小球a、b大小相同，质量相同，均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动，两球先后以相同速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法正确的是（　　）

• A． 速度v至少为2$\sqrt{gR}$时，才能使两球在管内做圆周运动
• B． 速度v至少为$\sqrt{5gR}$时，才能使两球在管内做圆周运动
• C． 当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所需向心力大5mg
• D． 只要v≥$\sqrt{5gR}$，小球a对轨道最低点压力比小球b对轨道最高点压力都大6mg

Answer 1

分析 要使小球能通过最高点，只要小球的速度大于零即可；当向心力等于重力时，小球对轨道没有压力，由向心力公式可求得小球在最高点时速度，再由机械能守恒可求得小球在最低点时的速度，及最低点时所需要的向心力，即可求得最低点与最高点处压力的差值．

解答 解：AB、因小球在管内转动，则内管可对小球提供向上的支持力，故可看作是杆模型；则小球的最高点的速度只要大于零，小球即可通过最高点，最高点的临界速度为0．根据机械能守恒定律得：2mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，得最低点的速度 v=2$\sqrt{gR}$，即v至少为2$\sqrt{gR}$时，才能使两球在管内做圆周运动．故A正确，B错误；
C、在最高点，当小球对轨道无压力时，则有：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，则v₁=$\sqrt{gR}$．
根据机械能守恒定律得，$\frac{1}{2}$mv₁²+mg•2R=$\frac{1}{2}$mv²，解得v=$\sqrt{5gR}$
则在最高点无压力时，b球所需要的向心力F₁=mg；a最低点所需要的向心力F₂=m$\frac{{v}^{2}}{R}$=5mg，小球a比小球b所需向心力大4mg．故C错误．
D、只要v≥$\sqrt{5gR}$，小球在最高点的速度大于$\sqrt{gR}$，小球所受的弹力方向向下，在最高点时，F₁+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，在最低点有：F₂-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，结合上题的结果可得F₂-F₁=6mg，则压力之差都等于6mg．故D正确．
故选：AD

点评 小球在竖直面内的圆周运动，若是用绳拴着，只有重力小于等于向心力时，小球才能通过最高点；而用杆或在管内运动的小球，只要速度大于零，小球即可通过最高点．