Question

3．宇航员登上一半径为R的星球表面，为测定该星球的质量，他用长细线一端拴一小球，另一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动（这种运动常称为圆锥摆运动），如图所示．若测得O点到圆面距离为h，圆锥摆的周期为T，已知万有引力常量为G．请推导出：
（1）该星球表面重力加速度g的表达式；
（2）该星球质量M的表达式．

Answer 1

分析 （1）由题，小球在水平面做匀速圆周运动，由重力和绳子的拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求解重力加速度．
（2）在星球的表面重力等于万有引力，由此即可得到质量的表达式．

解答 解：（1）设摆线与竖直方向之间的夹角为θ，由图可知，小球圆周运动的半径：r=htanθ
在竖直方向上：mg=$\frac{m4{π}^{2}}{{T}^{2}}•htanθ$
得：g=$\frac{4{π}^{2}h}{{T}^{2}}$
（2）在星球的表面重力等于万有引力，得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$
则：M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{2}h}{G{T}^{2}}$
答：（1）该星球表面重力加速度g的表达式为$\frac{4{π}^{2}h}{{T}^{2}}$；
（2）该星球质量M的表达式为$\frac{4{π}^{2}{R}^{2}h}{G{T}^{2}}$．

点评 本题是圆锥摆问题，关键是分析小球的受力情况，确定向心力的来源．注意小球圆周运动的半径与摆长不同．重力加速度g是联系天体运动和星球表面物体的运动的桥梁．