Question

（2011?湖北模拟）如图所示，在铅板A上放一个放射源C，可向各个方向射出速率为v的β射线，B为金属网，A、B连接在电路上，电源电动势为E，内阻为r，滑动变阻器的总阻值为R．图中滑动变阻器滑片置于中点，AB间的间距为d，M为足够大的荧光屏，M紧挨着金属网外侧．已知β粒子质量为m，电量为e．不计β射线所形成的电流对电路的影响，求：
（1）闭合开关S后，AB间场强的大小是多少？
（2）β粒子到达金属网B的最长时间是多少？
（3）切断开关S，并撤去金属B，加上垂直纸面向里、范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为B，设加上磁场后β粒子仍能到达荧光屏，这时在荧光屏上发亮区的长度是多少？

Answer 1

分析：（1）由图可知，板间建立匀强电场，根据闭合电路欧姆定律求出电路中电流，由欧姆定律求出板间电压，再由E=

U

d

求出板间场强．
（2）β粒子垂直进入匀强电场后，做匀变速曲线运动，垂直于板的方向做匀速直线运动，沿A板方向射出的β粒子沿板运动的位移最大，运动时间最长，这个粒子偏转的距离等于板间距离d，根据牛顿第二定律和位移公式结合求解最长的运动时间．
（3）当撤去电场后β粒子垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，沿A板方向向上射出的β粒子到达上边界最远处．当β粒子的轨迹与下边界相切时，β粒子到达下边界最远处．根据牛顿第二定律求出β粒子圆周运动的半径，由几何知识求解荧光屏上发亮区的长度．

解答：解：
（1）由闭合电路欧姆定律得：I=

E

R+r

  U_AB=

IR

2

=

ER

2(R+r)

由E_AB=

UAB

d

=

ER

2(R+r)d

（2）β粒子在两板间运动只受电场力作用，
其加速度为a=

F

m

=

eEAB

m

=

eER

2(R+r)dm

分析可知，沿A板方向射出的β粒子做类平抛运动到达B板所用时间最长．
根据：d=

1

2

at²   
所以 t=

2d a

=2d

m(R+r) eER

（3）β粒子垂直进入磁场只受洛伦兹力做匀速圆周运动，则有：
   evB=

mv2

r′

     
得  r′=

mv

eB

荧光亮斑区的上边界就是沿A板射出的β粒子所达的a点
有：（r′-d）²+

.

ab

2=r′²
解得，l₁=

.

ab

=

d(2r′-d)

=

d( 2mv eB -d)

荧光亮斑区的下边界就是β粒子轨迹与屏相切的C点（做轨迹图）
有：（r′-d）²+

.

bc

2=r′²
解得，l₂=

.

bc

=

d( 2mv eB -d)

在竖直方向上亮斑区的长度为l=l₁+l₂=2

d(2r′-d)

=2

d( 2mv eB -d)

答：
（1）闭合开关S后，AB间场强的大小是

ER

2(R+r)d

．
（2）β粒子到达金属网B的最长时间是2d

m(R+r) eER

．
（3）在荧光屏上发亮区的长度是2

d( 2mv eB -d)

．

点评：本题是带电粒子分别在匀强电场中和匀强磁场中运动的问题，研究的方法不同：电场中采用运动的分解法，磁场采用画轨迹，运用几何知识求解．