Question

如图所示，在X轴上方有水平向左的匀强电场E₁，在X轴下方有竖直向上的匀强电场E₂，且E₁=E2=

mg

q

，在X轴下方的虚线（虚线与Y轴成45°）右侧有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，有一长为L的轻绳一端固定在第一象限内的O′点，且可绕O′点在竖直平面内转动，另一端拴有一质量为m的小球，小球带电量为+q，OO′与X轴成45°，OO′的长度为L，先将小球放在O′正上方，从绳恰好绷直处由静止释放，当绳张紧瞬间沿绳方向分速度立刻减为零，而沿垂直绳方向的分速度不变．小球刚进入磁场时将绳子断开．求：
（1）绳第一次绷紧后小球的速度大小；
（2）小球刚进入磁场区域时怕速度；
（3）小球从进入磁场到第一次打在X轴上经过的时间．

Answer 1

分析：（1）在绳没有拉直之前，小球做的是匀加速直线运动，位移的大小为绳的长度，根据匀变速直线运动的规律可以求得运动的时间；
（2）当绳被拉直时，小球的沿着绳方向的速度变为零，只有垂直绳方向的速度的大小，之后再电场的作用下，小球加上运动，根据动能定理可以求得小球进入磁场是的速度的大小；
（3）小球在磁场中做的是圆周运动，根据圆周运动的周期公式可以求得小球的在磁场中运动的时间，小球离开磁场后，进入电场在做匀速直线运动，由此可以求得小球的运动的总时间．

解答：解：（1）小球一开始受到的合力为，做匀加速直线运动．
设绳子第一次刚拉直还没有开始绷紧时小球的速度大小为v．
根据动能定理可得：

2

mg?

2

L=

1

2

mv²
解得：v=2

gL

．
（2）设绳子刚绷紧后小球速度大小为v₂，
则进入有磁场的区域时速度的大小为v₃，
则：v₂=vcos45°
根据动能定理可得：

2

mg?（1-cos45°）L=

1

2

m

v

2 3

-

1

2

m

v

2 2

联立②③④式解得：
v₃=

2 2 gL

 
（3）带电小球垂直于磁场边界进入有磁场的区域，做匀速圆周运动，
设轨道半径为r由牛顿第二定律可得：qv₃B=m

v 2 3

r

带电小球运动半个圆周后，从磁场边界射出有磁场的区域，然后做匀速直线运动，
设匀速直线运动的距离为d．
则，由几何关系得：d=2r
设小球从进入有磁场的区域到第一次打在戈轴上经过的时间为t．
则：t=

πr

v3

+

d

v3

联立⑥⑦⑧式解得：
t=

(π+2)m

qB

．

点评：电荷在匀强磁场中做匀速圆周运动，关键是画出轨迹，由几何知识求出半径．定圆心角，求时间．