Question

如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，即F=-kx，其中k是由系统本身特性决定的线性回复力常数，那么质点的运动就是简谐运动。

（1）图1所示为一理想单摆，摆球的质量为m，摆长为L。重力加速度为g。请通过计算说明该单摆做简谐运动的线性回复力常数k=?

（2）单摆做简谐运动的过程中，由于偏角很小，因此可以认为摆球沿水平直线运动。

如图2所示，质量为m的摆球在回复力F=-kx作用下沿水平的x轴做简谐运动，若振幅为A，在平衡位置O点的速度为v_m，试证明：。

（3）如图3所示，两个相同的理想单摆均悬挂在P点。将B球向左拉开很小的一段距离由静止释放，B球沿水平的x轴运动，在平衡位置O点与静止的C球发生对心碰撞，碰撞后B、C粘在一起向右运动。已知摆球的质量为m，摆长为L。释放B球时的位置到O点的距离为d。重力加速度为g。求B、C碰撞后它们沿x轴正方向运动的最大距离。

Answer 1

（1）如答图3所示，以平衡位置O点为坐标原点，沿水平方向建立x轴。

设当偏角为θ时，位移为x。

重力垂直绳方向的分力提供回复力

当θ很小时

可得

所以

（2）单摆做简谐运动的过程中，只有线性回复力做功。

摆球从最大位移处运动到平衡位置的过程中，由动能定理

其中

所

B、C碰撞过程中动量守恒

运动的过