Question

7．如图所示，倾斜的传动带AB以恒定速度v=2m/s顺时针运动，传动带的倾角θ=37°，传动带A，B间的长度l₀=8m，水平台的右侧与传动带A轮边缘平滑连接，现使质量为m的物体（可视为质点）在P点以初速度v₀=10m/s向右运动，已知物体与水平台和传动带的动摩擦因数均为μ=0.5，P、A间的距离l=3.6m，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²，求：
（1）物体开始运动到最终停止时共经历的时间？
（2）若要使物体沿传动带到最高点B，则物体在P点至少要以多大的速度向右运动？

Answer 1

分析 （1）若要物块最后停止，则物块共需要经历4个过程，依次对物体进行受力分析，求出加速度，然后在结合运动学的公式求出各段的时间，最后求和；
（2）若要使物体沿传动带到最高点B，则物块共需要经历3个过程，依次对物体进行受力分析，求出加速度，然后在结合运动学的公式求出．

解答 解：（1）物块先在水平面上做匀减速运动，以向右为正方向，水平方向只受到摩擦力的作用，f₁=-μmg
则物体的加速度：${a}_{1}=\frac{{f}_{1}}{m}=-\frac{μmg}{m}=-μg=-0.5×10=-5m/{s}^{2}$
物体到达A的速度v₁，则：$2{a}_{1}l={v}_{1}^{2}-{v}_{0}^{2}$
代入数据得：v₁=8m/s
时间：${t}_{1}=\frac{{v}_{1}-{v}_{0}}{{a}_{1}}=\frac{8-10}{-5}=0.4$s
由于v₁＞v所以物体刚滑上传送带时受到的滑动摩擦力的方向向下，沿斜面向下的方向上：以沿传送带运动的方向为正方向，
ma₂=-μmgcosθ-mgsinθ
代入数据得：${a}_{2}=-10m/{s}^{2}$
向上减速到v的时间：${t}_{2}=\frac{v-{v}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{2-8}{10}=0.6$s
向上的位移：${x}_{1}={v}_{1}{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$=$8×0.6+\frac{1}{2}×（-10）×0．{6}^{2}=3$m
之后，物体受到的摩擦力的方向沿斜面向上，此时：
ma₃=-mgsinθ+μmgcosθ
代入数据得：a₃=-2m/s²
物体返回A点时，位移为：x₂=-x₁=-3m
又：${x}_{2}=v{t}_{3}+\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{3}^{2}$
代入数据得：t₃=3s
返回A点的速度：v₂=v+a₃t₃=2+（-2）×3=-4m/s
物体返回A后，将继续向左运动，加速度的大小：${a}_{4}=\frac{μmg}{m}=μg=0.5×10=5m/{s}^{2}$
所以到停止的时间：${t}_{4}=\frac{0-{v}_{2}}{{a}_{4}}=\frac{0-（-4）}{5}=0.8$s
所以物体运动的总时间：t_总=t₁+t₂+t₃+t₄=0.4+0.6+3+0.8=4.8s
（2）若要使物体沿传动带恰好到最高点B，则到达B的速度为0，当物体的速度：0＜v≤2m/s时，物体向上运动的过程中受到的摩擦力的方向向上，加速度为a₃；当物体沿传送带向上的速度大于2m/s时，受到的摩擦力的方向向下，所以加速度为a₂；
当0＜v≤2m/s时，物体在传送带上的位移x₃，则：$2{a}_{3}{x}_{3}=0-{v}^{2}$
所以：${x}_{3}=\frac{0-{v}^{2}}{2{a}_{3}}=\frac{0-{2}^{2}}{2×（-2）}=1$m
所以当物体向上的速度大于2m/s时，沿传送带向上的位移：x₄=l₀-x₃=8-1=7m
设物体到达A的速度为v₅，则：$2{a}_{2}{x}_{5}={v}^{2}-{v}_{5}^{2}$
物体由P到A的过程：$2{a}_{1}l={v}_{5}^{2}-{v}_{00}^{2}$
代入数据得：${v}_{00}=6\sqrt{5}$m/s
答：（1）物体开始运动到最终停止时共经历的时间是4.8s；
（2）若要使物体沿传动带到最高点B，则物体在P点至少要以$6\sqrt{5}$m/s的速度向右运动．

点评 该题属于单物体多过程的运动，每一问都涉及多个运动的过程，要针对不同的过程，正确进行受力分析，理清物块在整个过程中的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．