Question

17．如图所示，AOB是由某种透明物质制成的四分之一圆柱体的横截面（O为圆心），圆柱体的半径为r，折射率为$\sqrt{2}$，圆柱体的长度为h．今有一束平行光与挡光板成以45°的入射角射向OA面，这些光线中有一部分不能从圆柱体的AB面上射出，设凡射到OB面的光线全部被吸收，不考虑OA面的反射，求能从圆柱体AB弧面上射出光线部分的面积．

Answer 1

分析 画出光路图，当光线在AB弧面上发生全反射时，就没有光线从AB弧面射出，根据临界角确定出光线在AB弧面上恰好发生全反射时的入射点，由几何知识求解能从圆柱体AB弧面上射出光线部分的面积．

解答 解：从O点射入的光线，折射角为r，根据折射定律有：
 n=$\frac{sini}{sinr}$
解得  r=30°
经OA面折射后进入圆柱体的光线均平行，作出光路图如图所示．由光路图可知，入射光线越接近A点，其折射光线在AB弧面上的入射角就越大，越容易发生全反射．
设从某位置P点入射的光线，折射到AB弧面上Q点时，入射角等于临界角C，有 sinC=$\frac{1}{n}$
代入数据解得 C=45°
在△PQO中∠α=180°-90°-C-r=15°
所以能射出AB弧面的光线区域对应的圆心角为  β=90°-α-r=45°
在AB弧面上能射出光线的弧长为 l=$\frac{45°}{360°}$×2πr
因而从圆柱体弧面上能射出光线的面积为 S=lh
联立解得 S=$\frac{πrh}{4}$
答：能从圆柱体AB弧面上射出光线部分的面积是$\frac{πrh}{4}$．

点评 正确地画出光路图是解决本题问题的关键，是折射定律和几何知识的结合应用．