Question

2．随着我国高速公路的发展，越来越多的人选择开车出行，这也造成了高速路的拥堵，据观测发现在收费路口经常出现拥堵现象，为此开发了电子不停车收费系统ETC，汽车分别通过ETC通道和人工收费通道的流程如图所示．假设汽车以v₁=72km/h的速度沿直线朝收费站正常行驶，如果过ETC通道，需要在汽车运动到通道口时速度恰好减为v₂=4m/s，然后匀速通过总长度为d=16m的通道，接着再匀加速至v₁后正常行驶；如果过人工收费通道，需要恰好在中心线处匀减速至零，经过t₀=20s的时间缴费成功
后，再启动汽车匀加速至v₁后正常行驶，设汽车加速和减速过程中的加速度大小均为a=1m/s²．求
（1）汽车过ETC通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移x；
（2）汽车通过ETC通道比通过人工收费通道节约的时间△t．

Answer 1

分析 （1）根据匀变速直线运动的速度位移公式求出汽车匀加速和匀减速运动的位移，结合匀速运动的位移求出从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移．
（2）根据速度位移公式得出汽车在人工收费通道进入时的速度与进入ETC通道的速度相等，结合运动学公式分别求出两种情况下的时间，从而得出节省的时间．

解答 解：（1）汽车过ETC通道时，减速的位移和加速的位移相等，均为：x₁=$\frac{{{v}_{1}}^{2}-{{v}_{2}}^{2}}{2a}$，
所以总位移x=2x₁+d，
代入数据解得x=400m．
（2）汽车过人工收费通道到达中心线的速度恰好为零，刚进入通道的速度应满足${v}^{2}=2a\frac{d}{2}$，
故v=4m/s=v₂，而根据对称性，离开通道时的速度也恰好为v=4m/s=v₂，又汽车从ETC通道匀速通过收费站的速度为v₂=4m/s，即两车在进入通道前与离开通道后的运动规律是一样的．
所以汽车过ETC通道的时间${t}_{1}=\frac{d}{{v}_{2}}=\frac{16}{4}s=4s$，
汽车过人工收费通道的时间${t}_{2}=\frac{2{v}_{2}}{a}+{t}_{0}=\frac{2×4}{1}+20s=28s$，
节省的时间为△t=t₂-t₁=28-4s=24s．
答：（1）汽车过ETC通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移x为400m；
（2）汽车通过ETC通道比通过人工收费通道节约的时间△t为24s．

点评 解决本题的关键理清汽车在两种通道下的运动规律，结合匀变速直线运动的位移公式和时间公式进行求解，难度不大．