Question

如下图，竖直平面坐标系xOy的第一象限，有垂直xOy面向外的水平匀强磁场和竖直向上的匀强电场，大小分别为B和E；第四象限有垂直xOy面向里的水平匀强电场，大小也为E；第三象限内有一绝缘光滑竖直放置的半径为R的半圆轨道，轨道最高点与坐标原点O相切，最低点与绝缘光滑水平面相切于N。一质量为m的带电小球从y轴上（y＞0）的P点沿x轴正方向进入第一象限后做圆周运动，恰好通过坐标原点O，且水平切入半圆轨道并沿轨道内侧运动，过N点水平进入第四象限，并在电场中运动（已知重力加速度为g）。

（1）判断小球的带电性质并求出其所带电荷量；

（2）P点距坐标原点O至少多高；

（3）若该小球以满足（2）中OP最小值的位置和对应速度进入第一象限，通过N点开始计时，经时间小球距坐标原点O的距离s为多远？

Answer 1

【命题立意】本题考查带电粒子在复合场中的运动问题。

【思路点拨】首先要认识清楚是怎样的复合场，是磁场、电场与重力场中的哪两个还是三个场共存；其次要正确地对带电粒子进行受力分析；接着要对带电粒子的运动情况作出正确的判断；若带电粒子受力平衡，它将静止或作匀速直线运动；若带电粒子受合外力恒定，它将作匀变速运动；在对粒子的运动形式作出正确判断之后，可结合其受力特点，或运用运动学、动力学公式、或用动量知识、或用动能定理和能量守恒列出方程求解。

【答案】（1），小球带正电；（2）PO的最小距离为：；（3）。

【解析】（1）小球进入第一象限正交的电场和磁场后，在垂直磁场的平面内做圆周运动，说明重力与电场力平衡，qE＝mg①（1分）

得②   小球带正电。（1分）

（2）小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，设匀速圆周运动的速度为v、轨道半径为r。

有：③（1分）

小球恰能通过半圆轨道的最高点并沿轨道运动，有：④（1分）

由③④得：⑤（1分）PO的最小距离为：⑥（1分）

（3）小球由O运动到N的过程中机械能守恒：mg·2R＋mv²＝mv⑦（1分）

由④⑦得：⑧（1分）

根据运动的独立性可知，小球从N点进入电场区域后，在x轴方向以速度v_N做匀速直线运动，沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动，则沿x轴方向有：x＝v_Nt⑨（1分）

沿电场方向有：z＝at²⑩（1分）⑪（1分）t时刻小球距O点：（1分）