Question

11．有人设计了一种可测速的跑步机．测速原理如图所示，该机底面固定有间距为L、长度为d的平行金属电极．电极间充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，理想伏特表和电阻R并联后接在电极的两端．绝缘橡胶带上固定有间距为d的平行细金属条，橡胶带在电动机带动下运动时，金属条将随着橡胶带进入磁场区域，金属条跟电极接触良好，金属条的电阻均为r，其他部分的电阻均可忽略不计．

（1）写出橡胶带运动速度v跟伏特表示数U之间的表达式；
（2）橡胶带以速度v₁匀速运动时，每根金属条穿过磁场区域克服安培力做的功；
（3）关闭电动机，运动员在跑步机上跑步时对橡胶带的静摩擦力也可以带动橡胶带运动，这种跑步机被称为机械式跑步机．假定橡胶带在此种情况下运动时受到的机械阻力跟速度的平方成正比，即f=kv²，k为比例常数，并且运动员消耗的体能全部用来维持橡胶带匀速运动．求橡胶带以速度v₂匀速运动时运动员消耗的功率．

Answer 1

分析 （1）磁场中始终有一根金属条切割磁感线，产生感应电动势，相当于电源，电压表测量路端电压．由感应电动势公式E=BLv和欧姆定律等等知识求解．
（2）根据感应电动势公式E=BLv、欧姆定律和安培力公式F=BIL，求出安培力的大小，即可由功的公式求解克服安培力做的功．
（3）橡胶带匀速运动，运动员对橡胶带的摩擦力大小：F=f+F₂，据题f=kv₂²，安培力F₂=BI₂L，运动员消耗的最小功率：P=Fv₂，结合求解橡胶带以速度v₂匀速运动时运动员消耗的功率P．

解答 解：（1）金属条做切割磁感线运动产生的电动势大小为：E=BLv
回路中的电流大小为：I=$\frac{E}{R+r}$
伏特表的示数为：U=IR            
解得：v=$\frac{R+r}{BLR}U$      
（2）金属条中的电流为：I₁=$\frac{BL{v}_{1}}{R+r}$          
金属条受的安培力大小为：F₁=BI₁L  
金属条克服安培力做功为：W=F₁d=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}d{v}_{1}}{R+r}$
（3）运动员对橡胶带的摩擦力大小为：F=f+F₂
据题有：f=kv²
又 F₂=BI₂L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R+r}$
运动员消耗的最小功率为：P=Fv₂=（ f+F₂）v₂
联立得：P=${v}_{2}^{2}$（kv₂+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R+r}$）
答：（1）橡胶带运动速度v跟伏特表示数U之间的表达式为v=$\frac{R+r}{BLR}U$．
（2）每根金属条穿过磁场区域克服安培力做的功是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}d{v}_{1}}{R+r}$．
（3）橡胶带以速度v₂匀速运动时运动员消耗的功率为${v}_{2}^{2}$（kv₂+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R+r}$）．

点评 本题是理论联系实际问题，关键是建立物理模型，综合运用电磁感应知识、电路知识、力学知识解题，要有分析和解决实际问题的能力．