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    3．如图所示，MN是竖直平面内半径为R=1m的绝缘光滑半圆弧轨道，水平绝缘粗糙轨道NP长为L=2m，轨道NP区域存在水平向左的有界匀强电场E1，MN、QP为电场的两边界线，平行金属板AC左端靠近QP，轨道NP与半圆弧轨道相切于N点，P点到A板的距离为$\frac{1}{4}$d，AC板间电势差UCA=4V，AC板间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B=0.8T，板间距离d=2m，一个电荷量qa=0.1C、质量ma=20g的金属小球a以某一初速度从A板上的D孔与A板成37°进入电磁场运动后，刚好在水平方向上与静止在P点不带电的质量为mb=60g金属小球b发生正碰，b与a碰后均分电荷量，碰后小球a恰好从C板的右端边缘离开且速度大小为vc=$\sqrt{19}$m/s，小球b进入NP直线轨道并冲入圆弧轨道，与轨道NP的动摩擦因数为0.5，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2，求：
    （1）金属小球a刚与金属小球b碰前的速度大小；
    （2）若小球b进入半圆弧轨道后不脱离轨道，则水平匀强电场E1的取值范围．

    分析 （1）由题设条件可以求得a球在AC板间受到的电场力恰与重量相等，所以a球在板间做匀速圆周运动．由几何关系求出半径，再由洛仑兹力提供向心力从而求得a球做匀速圆周运动的速度--即刚与b球碰撞前的速度大小．
    （2）ab碰撞动量守恒，再加上碰后a球恰从C板边缘飞出，由题设已知和动能定理可以求出碰后b球的速度．对b球来讲，不脱离轨道有两种情况，临界条件是通过半圆弧的最高点和恰好运动到与圆心等高点．按此两种情况由牛顿第二定律和动能定理分别求得E1最大值和最小值．

    解答 解：（1）依题，当小球a在两板间时，
     ${q}_{a}×\frac{{U}_{CA}}{d}={m}_{a}g=0.2N$ 
      因此，小球a做匀速圆周运动，设半径为r，速度为v0，由几何关系和牛顿第二定律有：
       $rcos37°=r-\frac{1}{4}d$
      ${q}_{a}{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$
      解得：v0=10m/s
    （2）设ab碰撞后速率分别为va vb，以向左的方向为正方向，由动量守恒定律有：
      mav0=mava-mbvb
      碰撞后对a球根据动能定理：
      ${m}_{a}g×\frac{3}{4}d-\frac{{q}_{a}}{2}×\frac{U}{d}×\frac{3}{4}d=\frac{1}{2}m{{v}_{c}}^{2}-\frac{1}{2}{{m}_{a}}^{2}$
      解得：va=2m/s    vb=4m/s
      小球b能进入半圆轨道，则有
      $\frac{{q}_{a}}{2}{E}_{1}{L}_{1}-μ{m}_{b}g{L}_{1}≥\frac{1}{2}{{{m}_{b}v}_{b}}^{2}$
     解得：E1≥1.2N/C，球不脱离轨道有两种情况，临界条件是小球刚好能通过半圆弧的最高点和恰好运动到与圆心等高点．则
      $\frac{{q}_{a}}{2}{E}_{1}{L}_{1}-μ{m}_{b}g{L}_{1}-{m}_{b}g•2R=\frac{1}{2}{m}_{b}{{v}_{M}}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{b}{{v}_{b}}^{2}$
      ${m}_{b}g={m}_{b}\frac{{{v}_{M}}^{2}}{R}$
      解得：E1=10.2N/C
      $\frac{{q}_{a}}{2}{E}_{1}{L}_{1}-μ{m}_{b}g{L}_{1}-{m}_{b}gR=\frac{1}{2}{m}_{b}{{v}_{b}}^{2}$
      解得：E1=7.2N/C
      因此小球b不脱离轨道的条件是：
      1.2N/C≤E1≤7.2N/C   或E1≥10.2N/C
    答：（1）金属小球a刚与金属小球b碰前的速度大小为10m/s．
    （2）若小球b进入半圆弧轨道后不脱离轨道，则水平匀强电场E1的取值范围是：1.2N/C≤E1≤7.2N/C   或E1≥10.2N/C．

    点评 本题的物理过程比较明确，a球先做匀速圆周运动与b球水平正碰，后做复杂的运动以已知速度从C板边缘飞出，这样由牛顿第二定律和动能定理、几何关系等就能求出碰撞前后ab球的速度；至于第二问，要使b球不脱离轨道则临界条件是小球刚好能通过半圆弧的最高点和恰好运动到与圆心等高点，分两种情况求出电场强度的最大值和最小值，从而求出E1范围．

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