Question

12．如图所示，半径为R的光滑圆弧轨道放置在竖直平面内，A、C是轨道的两个端点，A点与圆心O等高，C点和圆心O点的连线与竖直方向的夹角θ=60°，B点处在圆弧轨道的最低点．现有两个半径均为r（r＜R）的小球1和小球2，其中小球2静止在B点．把小球1从A点由静止释放，到达最低点B处与小球2发生弹性碰撞，为使得小球2能离开圆弧轨道，小球2与小球1的质量之比$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}$应满足什么条件？

Answer 1

分析 小球1从A到B的过程中，机械能守恒，据此求出到达B处获得的速度，在B处小球1和小球2发生弹性碰撞，根据动量守恒定律以及机械能守恒定律求出碰撞后B的速度，小球2从B到C得过程中，机械能守恒，要保证在C点的速度大于0，据此求解即可．

解答 解：小球1从A到B的过程中，机械能守恒，到达B处获得的速度为v₁，则有：
${m}_{1}gR=\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}$
在B处小球1和小球2发生弹性碰撞，设碰撞后的速度分别为v₁′和v₂′，以v₁速度方向为正方向，根据动量守恒定律得：
m₁v₁=m₁v₁′+m₂v₂′，
根据机械能守恒定律得：
${\frac{1}{2}m}_{1}{{v}_{1}}^{2}={\frac{1}{2}m}_{1}{v}_{1}{′}^{2}+{\frac{1}{2}m}_{2}{v}_{2}{′}^{2}$
小球2从B到C得过程中，机械能守恒，要保证在C点的速度大于0，则有：
$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}{′}^{2}＞{m}_{2}gR（1-cosθ）$
联立解得：$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}＜2\sqrt{2}-1$
答：为使得小球2能离开圆弧轨道，小球2与小球1的质量之比$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}$应满足$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}＜2\sqrt{2}-1$．

点评 本题主要考查了机械能守恒定律以及动量守恒定律的直接应用，知道弹性碰撞过程中，机械能守恒，难度适中．