Question

20．如图所示，空间的虚线框内有匀强电场，AA′、BB′、CC′是该电场的三个等势面．相邻等势面间的距离为0.5cm，其中BB′为零势面，一个质量为m、带电量为+q的粒子沿AA′方向以初速度2m/s自图中的P点进入电场，刚好从C′点离开电场．已知PA′=2cm，粒子的比荷为0.1，粒子的重力忽略不计．求：
（1）匀强电场强度的大小和方向；
（2）等势面AA′、BB′、CC′的电势；
（3）若粒子在P点的动能为E_k，则在P、C′点时的电势能（请用E_k表示）．

Answer 1

分析 （1）BB′为零势面，知匀强电场的方向竖直向上，带电粒子做类平抛运动，根据水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，根据分位移公式和牛顿第二定律求场强的大小．
（2）根据U=Ed求解出相邻等势面间的电势差，再求电势．
（3）求出末速度与初速度的关系，从而得出末动能和初动能的关系，根据动能定理和电场力做功与电势能的关系得出C′点的电势能．

解答 解：（1）带电粒子做类平抛运动，水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，有：
  x=v₀t
  y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
又 a=$\frac{qE}{m}$
解得 E=$\frac{2m{v}_{0}^{2}y}{q{x}^{2}}$=$\frac{2×{2}^{2}×0.01}{0.1×0.0{2}^{2}}$=4000N/C
场强方向竖直向上．
（2）相邻等势面间的电势差 U=Ed=4000×0.005V=20V
根据顺着电场线方向电势降低，可知，等势面AA′、BB′、CC′的电势依次降低，则等势面AA′、BB′、CC′的电势分别为：20V、0、-20V．
（3）从等势面AA′到CC′有：
水平方向有：x=v₀t=2cm
竖直方向有：y=$\frac{{v}_{y}}{2}t$=1cm
解得 v_y=v₀
粒子的初速度为 E_k=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
粒子到达C′点时的动能E_K′=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}m$（${v}_{0}^{2}$+${v}_{y}^{2}$）=2E_K．
根据动能定理得：qU_PC′=2E_K-E_k=E_k
则从P到BB′，有：qU_PBB′=q•$\frac{1}{2}$U_PC′=0.5E_k
根据功能关系可得，P、C′点时的电势能分别为：0.5E_k，-0.5E_k．
答：
（1）匀强电场强度的大小为4000N/C，场强方向竖直向上．
（2）等势面AA′、BB′、CC′的电势分别为20V、0、-20V；
（3）若粒子在P点的动能为E_k，则在P、C′点时的电势能分别为0.5E_k，-0.5E_k．

点评 解决本题的关键知道粒子做类平抛运动，知道水平方向上和竖直方向上的运动规律，以及掌握动能定理和电场力做功与电势能的关系．