Question

19．一质点由静止开始从A点向B点作直线运动，初始加速度为a₀
（1）若以后加速度均匀增加，每经过n秒增加a₀，求经过t秒后质点的速度．
（2）若将质点的位移S_AB平分为n等份，且每过一个等分点后，加速度都增加$\frac{{a}_{0}}{n}$，求该质点到达B点时的速度．

Answer 1

分析 （1）作出质点的加速度随时间的图线，结合图线围成的面积求出速度的变化量，从而得出t秒后质点的速度．
（2）将质点的位移S_AB平分为n等份，得出每一等份内的加速度，结合速度位移公式对每一段列出方程，通过累计计算求出质点到达B点的速度大小．

解答 解：（1）作出a-t图线，图线围成的面积表示速度的变化量，
每经过n秒增加a₀，则ts时，加速度a=${a}_{0}+\frac{t}{n}{a}_{0}$，
则ts内速度的变化量$△v=\frac{1}{2}（{a}_{0}+{a}_{0}+\frac{t}{n}{a}_{0}）t$=${a}_{0}t+\frac{{a}_{0}}{2n}{t}^{2}$．
因为初速度为零，则ts后的速度v=${a}_{0}t+\frac{{a}_{0}}{2n}{t}^{2}$．
（2）根据速度位移公式得，$2{a}_{0}\frac{{s}_{AB}}{n}={{v}_{1}}^{2}-0$，
$2（{a}_{0}+\frac{{a}_{0}}{n}）\frac{{s}_{AB}}{n}={{v}_{2}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}$．
$2（{a}_{0}+\frac{（n-1）{a}_{0}}{n}）\frac{{s}_{AB}}{n}={{v}_{B}}^{2}-{{v}_{n-1}}^{2}$．
累加，解得${v}_{B}=\sqrt{（3-\frac{1}{n}）a{s}_{AB}}$．
答：（1）经过t秒后质点的速度为${a}_{0}t+\frac{{a}_{0}}{2n}{t}^{2}$．
（2）该质点到达B点时的速度为$\sqrt{（3-\frac{1}{n}）a{s}_{AB}}$．

点评 解决本题的关键知道a-t图线围成的面积表示速度的变化量，对于第二问，对数学要求的能力要求较高，通过速度位移公式，累计计算进行求解．