Question

10．已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G．（忽略地球的自转）
（1）求地球的平均密度ρ；
（2）我国自行研制的“神舟九号”载人飞船于2012年6月16日从中国酒泉卫星发射中心载人航天发射场用长征二号F火箭发射升空．假设“神舟九号”飞船进入预定轨道后绕地球做匀速圆周运动，运行的周期是T，结合题干中所给的已知量，求飞船绕地球飞行时离地面的高度h．

Answer 1

分析 （1）根据地面附近重力等于万有引力列式得到地球的质量，根据密度的定义式求解地区的密度；
（2）利用万有引力等于向心力列式求解地卫星做匀速圆周运动的高度．

解答 解：（1）地面附近重力等于万有引力，故：
mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得：
M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
地球的体积V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$，根据ρ=$\frac{M}{V}$
联立得：ρ=$\frac{3g}{4πGR}$
（2）由万有引力定律和牛顿第二定律得：
G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$

得：h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$
答：（1）地球的平均密度ρ是$\frac{3g}{4πGR}$；
（2）飞船绕地球飞行时离地面的高度h是$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．

点评 本题关键记住两点：地面附近重力等于万有引力；卫星做匀速圆周运动时，万有引力等于向心力．