Question

11．如图甲所示，有一磁感应强度大小为B、垂直纸面向外的匀强磁场，磁场边界OP与水平方向夹角为θ=45°，紧靠磁场右上边界放置长为L、间距为d的平行金属板M、N，磁场边界上的O点与N板在同一水平面上，O₁、O₂为电场左右边界中点．在两板间存在如图乙所示的交变电场（取竖直向下为正方向）．某时刻从O点竖直向上以不同初速度同时发射两个相同的质量为m、电量为+q的粒子a和b．结果粒子a恰从O₁点水平进入板间电场运动，由电场中的O₂点射出；粒子b恰好从M板左端边缘水平进入电场．不计粒子重力和粒子间相互作用，电场周期T未知．求：

（1）粒子a、b从磁场边界射出时的速度v_a、v_b；
（2）粒子a从O点进入磁场到O₂点射出电场运动的总时间t；
（3）如果金属板间交变电场的周期$T=\frac{4m}{qB}$，粒子b从图乙中t=0时刻进入电场，要使粒子b能够穿出板间电场时E₀满足的条件．

Answer 1

分析 （1）利用几何关系求出粒子轨道半径，应用牛顿第二定律，洛伦兹力提供向心力可以求出粒子a、b从I磁场边界射出时的速度v_a、v_b；
（2）求出粒子在磁场中、在电场中、在电磁场外的运动时间，然后求出总运动时间；
（3）作出粒子在电场中的运动轨迹，应用类平抛运动规律分析答题．

解答 解：（1）如图所示，粒子a、b在磁场中均速转过90°，平行于金属板进入电场．
       
        由几何关系可得：r_a=$\frac{1}{2}$d，r_b=d…①
        由牛顿第二定律可得：qv_aB=m$\frac{{v}_{a}^{2}}{{r}_{a}}$…②
                                        qv_bB=m$\frac{{v}_{b}^{2}}{{r}_{b}}$…③
        由①②③解得：v_a=$\frac{qBd}{2m}$，v_b=$\frac{qBd}{m}$
（2）粒子a在磁场中运动轨迹如图
    
        在磁场中运动周期为：T₀=$\frac{2πm}{qB}$…④
        在磁场中运动时间：t₁=$\frac{{T}_{0}}{4}$=$\frac{πm}{2qB}$…⑤
        粒子在电磁场边界之间运动时，水平方向做匀速直线运动，所用时间为：
         t₂=$\frac{（\frac{d}{2}+L）}{{v}_{a}}$…⑥
        由 ④⑤⑥则全程所用时间为：t=t₁+t₂=$\frac{πm}{2qB}+\frac{m（L+2d）}{qBd}$
（3）由于粒子a在电场中从O₂射出，在电场中竖直方向位移为0，所以a粒子是在交流电其中一个周期的$\frac{T}{4}$时刻进入电场，
        故a在板间运动的时间t_a是周期的整数倍，
        粒子在磁场中运动的时间相同，a、b同时离开Ⅰ磁场，a比b进入电场落后时间：△t=$\frac{d}{{2v}_{a}}$=$\frac{m}{qB}$=$\frac{T}{4}$ 
        故粒子b在t=0时刻进入电场．
        由于v_b=2v_a，
        b在电场中运动的时间是t_b=$\frac{1}{2}$t_a，可见b在电场中运动的时间是半个周期的整数倍，即：t_b=$\frac{L}{{v}_{b}}$=n•$\frac{T}{2}$
        所以：n=$\frac{2L}{T{v}_{b}}$
        粒子b在$\frac{T}{2}$内竖直方向的位移为：y=$\frac{1}{2}$a（$\frac{T}{2}$）²  
        粒子在电场中的加速度a=$\frac{q{E}_{0}}{m}$
        由题知T=$\frac{4m}{qB}$
        竖直方向在电场力作用下做加速、减速交替的匀变速运动：
        0～$\frac{T}{2}$时间内，向下做初速度为0的匀加速运动，向下发生位移：y₁=$\frac{1}{2}$（$\frac{q{E}_{0}}{m}$）（$\frac{T}{2}$）²=y，
        $\frac{T}{2}$～T时间内，向下做匀减速运动至速度为0，向下发生位移为：y₂=$\frac{1}{2}$（$\frac{q{E}_{0}}{m}$）（$\frac{T}{2}$）²=y，
        以此类推：每个$\frac{T}{2}$时间内y方向的位移都相等，且都等于y
        所以粒子b要飞出电场有：（y₁+y₂+…+y_n）≤d，
        即：ny≤d
        解得：${E}_{0}≤\frac{q{B}^{2}{d}^{2}}{mL}$．
答：（1）粒子a从磁场边界射出时的速度v_a为$\frac{qBd}{2m}$，粒子b从磁场边界射出时的速度v_b为$\frac{qBd}{m}$；
      （2）粒子a从O点进入磁场到O₂点射出电场运动的总时间t为$\frac{πm}{2qB}+\frac{m（L+2d）}{qBd}$；
      （3）如果金属板间交变电场的周期$T=\frac{4m}{qB}$，粒子b从图乙中t=0时刻进入电场，要使粒子b能够穿出板间电场E₀满足的条件为${E}_{0}≤\frac{q{B}^{2}{d}^{2}}{mL}$．

点评 本题考查了带电粒子在电场与磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹是正确解题的关键，应用几何关系、牛顿第二定律、粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期公式、运动学公式即可正确解题．