Question

11．如图所示，质量为m的小物块从一半径为R=$\frac{1}{4}$L的四分之一光滑圆弧轨道顶点A下滑，滑到圆弧最低点B后，滑上长为L的水平桌面，水平桌面上沿运动方向粘贴了一段长度未知的粗糙纸面，桌面其它部分光滑，小物块与粗糙纸面的动摩擦系数为μ=0.25．小物体滑出后做平抛运动，桌面离地高度h以及水平飞行距离s均为$\frac{L}{2}$（重力加速度为g）求：

（1）在圆弧最低点B物块对轨道的压力；
（2）未知粗糙纸面的长度x为多少？若粗糙纸面放在BC的中间位置则小物块从进入桌面到落地经历总时间是多少？
（3）粗糙纸面放在何处，滑块从B端滑过桌面用时最短，该时间为多大？

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出物块到达最低点的速度，结合牛顿第二定律求出支持力的大小，从而得出物块对轨道的压力大小．
（2）根据平抛运动的规律求出物块离开水平面的速度，结合动能定理求出未知粗糙纸面的长度，根据运动学公式分别求出滑块在粗糙纸面左端和右端的时间，结合在粗糙纸面上的运动时间和平抛运动的时间求出总时间．
（3）粗糙纸面右端与水平面边缘对齐时，滑块从B端滑过桌面用时最短，根据运动学公式求出最短的时间．

解答 解：（1）根据动能定理得，$mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-0$，解得${v}_{B}=\sqrt{2gR}$，
在B点，根据牛顿第二定律得，N-mg=$m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，解得N=3mg．
则物块对轨道的压力为3mg．
（2）根据$h=\frac{L}{2}=\frac{1}{2}gt{′}^{2}$得，平抛运动的时间t′=$\sqrt{\frac{L}{g}}$，
则平抛运动的初速度${v}_{C}=\frac{\frac{L}{2}}{t}$=$\frac{1}{2}\sqrt{gL}$，
根据动能定理得，$-μmgx=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
解得x=$\frac{1}{2}L$．
根据匀变速直线运动的平均速度推论知，在粗糙纸面上有：$\frac{L}{2}=\frac{{v}_{B}+{v}_{C}}{2}{t}_{2}$，解得t₂=$2（\sqrt{2}-1）\sqrt{\frac{L}{g}}$，
在水平面上匀速运动的时间$t=\frac{\frac{L}{4}}{{v}_{B}}+\frac{\frac{L}{4}}{{v}_{C}}$=$（\frac{2+\sqrt{2}}{4}）\sqrt{\frac{L}{g}}$，
则小物块从进入桌面到落地经历总时间t_总=t+t₂+t′=$\frac{9\sqrt{2}-2}{4}\sqrt{\frac{L}{g}}$．
（3）粗糙纸面右端与水平面边缘对齐时，滑块从B端滑过桌面用时最短，
最短时间${t}_{min}=\frac{\frac{L}{2}}{{v}_{B}}+{t}_{2}$=$\frac{5\sqrt{2}-4}{2}\sqrt{\frac{L}{g}}$．
答：（1）在圆弧最低点B物块对轨道的压力为3mg；
（2）未知粗糙纸面的长度x为$\frac{1}{2}L$，小物块从进入桌面到落地经历总时间是$\frac{9\sqrt{2}-2}{4}\sqrt{\frac{L}{g}}$；
（3）粗糙纸面右端与水平面边缘对齐时，滑块从B端滑过桌面用时最短，最短时间为$\frac{5\sqrt{2}-4}{2}\sqrt{\frac{L}{g}}$．

点评 本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律、运动学公式的综合运用，关键理清滑块在整个过程中的运动规律，选择合适的规律进行求解，本题涉及到圆周运动和平抛运动，知道圆周运动向心力的来源和平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律是解决本题的关键．