Question

2．在对微观粒子的研究中，对带电粒子运动的控制是一项重要的技术要求，设置适当的电场和磁场实现这种要求是可行的做法．如图甲所示的xOy平面处于匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间t作周期性变化的图象如图乙所示．x轴正方向为E的正方向，垂直纸面向里为B的正方向．若在坐标原点O处有一粒子P，其质量和电荷量分别为m和+q．（不计粒子的重力，不计由于电场、磁场突变带来的其它效应）．在0.5t₀时刻释放P，它恰能沿一定轨道做往复运动．
（1）求P在磁场中运动时速度的大小；
（2）若B₀=$\frac{3πm}{q{t}_{0}}$，求粒子第一次回到出发点所通过的路程；
（3）若在t′（0＜t′＜0.5t₀）时刻释放P，求粒子P速度为零时的坐标．

Answer 1

分析 （1）0.5t₀时刻释放的粒子先在电场中经过0.5t₀时间的加速，再进入磁场，进入磁场的速度就是在电场中加速的末速度．
（2）t₀-2t₀粒子在磁场中做匀速圆周运动，只有当t=2t₀时刻粒子的速度方向沿x轴负向，粒子才能做往复运动，画出运动轨迹，粒子在磁场中运动3/2个圆周再加上电场中的轨迹和长度，就是粒子第一次回到出发点所通过的路程．
（3）粒子交替在电场和磁场中加速、圆周运动、减速为零到达y轴，再加速、圆周运动、减速为零到达y轴，如此循环，显然在y轴的纵坐标有一定的规律，找出第一次、第二次纵坐标的规律，就能写出一般规律．

解答 解：（1）0.5t₀-t₀粒子在电场中做匀加速直线运动，
  电场力F=E₀q
  加速度  a=$\frac{F}{q}$  
  速度 v₀=at   t=0.5t₀
  解得：v₀=$\frac{{E}_{0}q{t}_{0}}{2m}$
（2）t₀-2t₀粒子在磁场中做匀速圆周运动，只有当t=2t₀时刻粒子的速度方向沿x轴负向，粒子才能做
  往复运动．${B}_{0}q{v}_{0}=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{R}$     $T=\frac{2πR}{{v}_{0}}$   由以上两式解得：$T=\frac{2}{3}{t}_{0}$ 由此判断出粒子在磁场中运动
  3/2个圆周，粒子轨迹如图所示，
  粒子第一次回到出发点通过的路程S=S_磁+S_电
  粒子在磁场中通过的路程 S_磁=3v₀T=$\frac{{E}_{0}q{t}^{2}}{m}$
  粒子在电场中路程 ${S}_{电}=4×\frac{0+{v}_{0}}{2}×\frac{1}{2}{t}_{0}$=$\frac{{E}_{0}q{{t}_{0}}^{2}}{2m}$
  所以  S=$\frac{3{E}_{0}q{{t}_{0}}^{2}}{2m}$
（3）t′时刻释放粒子，在电场中加速时间为t₀-t′，进入磁场中的速度：
  v₁=a（t₀-t′）═
进入磁场后做圆周运动，由${B}_{0}q{v}_{1}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{1}}$，可得${r}_{1}=\frac{m{v}_{1}}{{B}_{0}q}=\frac{{E}_{0}（{t}_{0}-t′）}{{B}_{0}}$
  2t₀时刻开始在电场中运动，经（t₀-t′）时间速度减为零，粒子到达y轴，而后粒子在电场中再次向右
  加速t′时间，再次进入磁场中的速度
  ${v}_{2}=at′=\frac{{E}_{0}qt′}{m}$   由 $q{v}_{2}B=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{{r}_{2}}$  可得 ${r}_{2}=\frac{m{v}_{2}}{q{B}_{0}}=\frac{{E}_{0}t′}{{B}_{0}}$   
  上述  r₁＞r₂    粒子运行轨迹如图所示
   综上分析，速度为零时粒子横坐标为x=0
     纵坐标为 
    $y=\left\{\begin{array}{l}{2[k{r}_{1}-（k-1）{r}_{2}]}\\{2k（{r}_{1}-{r}_{2}）}\end{array}\right.\\;\\;（k=1，2，3，4…）$   （k=1，2，3，4…）
   即$y=\left\{\begin{array}{l}{\frac{2{E}_{0}[k（{t}_{0}-2t′）+{t}_{0}]}{{B}_{0}}}\\{\frac{2k{E}_{0}（{t}_{0}-2t′）}{{B}_{0}}}\end{array}\right.$  （k=1，2，3，4…）
答：（1）P在磁场中运动时速度的大小为$\frac{{E}_{0}q{t}_{0}}{2m}$．
（2）若B₀=$\frac{3πm}{q{t}_{0}}$，求粒子第一次回到出发点所通过的路程是$\frac{3{E}_{0}q{{t}_{0}}^{2}}{2m}$．
（3）若在t′（0＜t′＜0.5t₀）时刻释放P，粒子P速度为零时的横坐标为x=0，纵坐标为$y=\left\{\begin{array}{l}{\frac{2{E}_{0}[k（{t}_{0}-2t′）+{t}_{0}]}{{B}_{0}}}\\{\frac{2k{E}_{0}（{t}_{0}-2t′）}{{B}_{0}}}\end{array}\right.$ （k=1，2，3，4…）．

点评 本题的关键是：①题干中所限制的粒子P必须能做往返运动，那样粒子做圆周运动的周期与交变磁场的周期有一定的关系．②第三问涉及的多解问题，加速时间小于0.5t0，则第一次加速时间较长，速度大，进入磁场后做匀速圆周运动的半径也大，返回时刚好到y轴速度为零，而第二次加速时间短，进入磁场的速度小，半径小，所以再次到达y轴的坐标就变小，余次类推找出一般规律即可．