Question

19．如图所示，水平圆盘绕过圆心O的竖直轴以角速度ω匀速转动，A，B，C三个木块放置在圆盘上面的同一条直径上，已知A的质量为2m，A与圆盘间的动摩擦因数为2μ，B和C的质量均为m，B和C与圆盘间的动摩擦因数均为μ，OA，OB，BC之间的距离均为L，开始时，圆盘匀速转动时的角速度ω比较小，A，B，C均和圆盘保持相对静止，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（　　）

• A． 木块A随圆盘一起做匀速圆周运动时，相对圆盘具有沿半径向外的运动趋势
• B． 随着圆盘转动的角速度ω的不断增大，相对圆盘最先滑动的是木块C
• C． 若B，C之间用一根长L的轻绳连接起来，则当圆盘转动的角速度ω＜$\sqrt{\frac{3gμ}{4L}}$时，B，C可与圆盘保持相对静止
• D． 若A，B之间用一根长2L的轻绳连接起来，则当圆盘转动的角速度ω＜$\sqrt{\frac{3gμ}{L}}$时，A，B可与圆盘保持相对静止

Answer 1

分析 依据向心力表达式，比较三个物体的向心力即可，然后比较三个物体谁的向心力会先达到最大静摩擦力，谁就先开始滑动；

解答 解：A、木块A随圆盘一起做匀速圆周运动时，静摩擦力提供指向也相等向心力，所以物体相对圆盘具有沿半径向外的运动趋势．故A正确；
B、A的质量为2m，A与圆盘间的动摩擦因数为2μ，A与圆盘之间的最大静摩擦力：f_A=2m•2μg=4μmg
A需要的向心力等于最大静摩擦力时的角速度ω₁，则：$2m•{ω}_{1}^{2}•L=4μmg$
所以：${ω}_{1}=\sqrt{\frac{2μg}{L}}$
同理，B与圆盘之间的最大静摩擦力：f_B=μmg
B需要的向心力等于最大静摩擦力时的角速度ω₂，则：$m•{ω}_{2}^{2}•L=μmg$
所以：${ω}_{2}=\sqrt{\frac{μg}{L}}$
C与圆盘之间的最大静摩擦力：f_C=μmg
C需要的向心力等于最大静摩擦力时的角速度ω₃，则：$m•{ω}_{1}^{2}•2L=μmg$
所以：${ω}_{3}=\sqrt{\frac{μg}{2L}}$
由以上的解析可知，随着圆盘转动的角速度ω的不断增大，相对圆盘最先滑动的是木块C．故B正确；
C、若B，C之间用一根长L的轻绳连接起来，则当圆盘转动的角速度ω=$\sqrt{\frac{3gμ}{4L}}$时，
B需要的向心力：${F}_{B}=m{ω}^{2}L=mL•{（\sqrt{\frac{3μg}{4L}}）}^{2}=\frac{3μmg}{4}$
C需要的向心力：${F}_{C}=m{ω}^{2}•2L=2mL•{（\sqrt{\frac{3μg}{4L}}）}^{2}=\frac{3μmg}{2}$
B和C需要的向心力的和：${F}_{1}={F}_{B}+{F}_{C}=\frac{9μmg}{4}＞2μmg$，所以当圆盘转动的角速度ω接近$\sqrt{\frac{3gμ}{4L}}$时，B与C一起向外滑动．故C错误；
D、若A，B之间用一根长2L的轻绳连接起来，则当圆盘转动的角速度ω＜$\sqrt{\frac{3gμ}{L}}$时，
A需要的向心力：${F}_{A}=2m{ω}^{2}L=6μmg$
${F}_{B}′=m{ω}^{2}L=mL•{（\sqrt{\frac{3μg}{L}}）}^{2}=3μmg$
可知，由于A需要的向心力比较大，所以A有远离O点的趋势，B有向O点运动的趋势．当B恰好要向O点运动时，受到的静摩擦力的方向指向O点，设此时绳子的拉力为F，则：
F+μmg=F_B′
所以：F=2μmg，
恰好满足：F+f_A=2μmg+4μmg=6μmg=F_A，所以当圆盘转动的角速度ω＜$\sqrt{\frac{3gμ}{L}}$时，A，B可与圆盘保持相对静止．故D正确．
故选：ABD

点评 本题的关键是正确分析木块的受力，明确木块做圆周运动时，静摩擦力提供向心力，把握住临界条件：静摩擦力达到最大，由牛顿第二定律分析解答．