Question

土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动．其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心距离分别为r_A=8.0×10⁴km和r_B=1.2×10⁵km．忽略所有岩石颗粒间的相互作用．
（1）求岩石颗粒A和B的线速度之比．
（2）求岩石颗粒A和B的周期之比．
某同学的解答为：因为岩石颗粒在做圆周运动，可知线速度v=ωr．所以

vA

vB

=

rA

rB

，然后根据圆周运动中周期和线速度的关系式求出周期之比．你同意上述解答吗？若同意请列出主要运算步骤求出结果；若不同意，则说明原因，并求出正确结果．

Answer 1

分析：（1）由万有引力提供向心力

GM0m

r2

=

mv2

r

即可列式求解；
（2）在上一问的前提下，根据T=

2πr

v

即可求解；

解答：解：这位同学的解答不正确，两颗卫星的角速度不相同．正确的解法如下：
（1）设土星质量为M₀，颗粒质量为m，颗粒距土星中心距离为r，线速度为v，
根据牛顿第二定律和万有引力定律：

GM0m

r2

=

mv2

r

解得：v=

GM0 r

对于A、B两颗粒分别有：vA=

GM0 rA

和vB=

GM0 rB

得：

vA

vB

=

6

2

（2）设颗粒绕土星作圆周运动的周期为T，则：T=

2πr

v

对于A、B两颗粒分别有：TA=

2πrA

vA

和TB=

2πrB

vB

得：

TA

TB

=

2 6

9

答：这位同学的解答不正确，两颗卫星的角速度不相同．正确的解法如上所示．

点评：本题是万有引力定律得简单应用问题，可列出表达式直接对比求解．