Question

11．如图所示，PQ、MN是水平面内相互平行的足够长金属导轨，金属导轨的电阻不计，在金属导轨的P端和M端之间用导线接入理想交流电流表A和阻值R=2Ω的电阻，在y=2$\sqrt{2}$sinx（m）的图线与x轴合围的区域内有B=lT的匀强磁场，磁场方向竖直向下．一质量m=1kg．阻值r=1.14Ω的金属棒ab从x=0处开始在水平外力F作用下，以v=3.14m/s的恒定速度沿x轴正方向运动，已知金属棒ab与金属导轨间的动摩擦因数μ=0.2，g取10m/s²．试求：

（1）作用在金属棒上外力的最大值；
（2）交流电流表的示数；
（3）在=50s内外力做的功．

Answer 1

分析 （1）作用在金属棒上的速度最大时金属棒上的外力最大；
（2）交流电流表的示数为有效值
（3）根据能量守恒求解．

解答 解：（1）由题意分析可知，当金属棒ab运动到$x=\frac{2k+1}{2}π（k=0、1、2、…）$时，作用在金属棒上的外力最大，设最大值为F_m
此时感应电动势为：E_m=BLv    ①
由欧姆定律得感应电流的大小${I}_{m}=\frac{{E}_{m}}{R+r}$    ②
此时金属棒所受到的安培力为：F=BI_mL    ③
由题意得：$L=2\sqrt{2}$
对金属棒由平衡得：F_m=F+μmg    ④
代入数据①②③④得：F_m=10N
（2）由题意可得，t时刻金属棒ab距离坐标原点的距离为：x=vt=3.14tm⑤
所以t时刻电路中感应电动势为：$e=Byv=6.28\sqrt{2}sin3.14t$
t时刻电路中感应电流为：$i=\frac{e}{R+r}=2\sqrt{2}sin3.14t$
所以电路中电流表的示数为：$I=\frac{{I}_{m}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}A=2A$  ⑥
有功能关系得：W=Q_焦+Q_摩    ⑦
${Q}_{焦}={I}^{2}（R+r）t$    ⑧
Q_摩=μmgx    ⑨
代入数据⑤⑥⑦⑧⑨得：W=942J
答：（1）作用在金属棒上外力的最大值为10N；
（2）交流电流表的示数为2A；
（3）在=50s内外力做的功942J．

点评 本题综合考察了交变电流产生，欧姆定律、焦耳定律和功能关系，综合性比较强，属于中等难度．