Question

12．如图所示，空间存在着强度E=$\frac{3mg}{q}$方向竖直向上的匀强电场，在电场内一长为l的绝缘细线，一端固定在O点，一端拴着质量m、电荷量q的小球．现将细线拉直到水平位置，使小球由静止释放，当小球运动最高点时细线受到的拉力恰好达到它能承受的最大值而断裂．求：
（1）小球运动最高点时的速度；
（2）从断线开始计时，在t=$\sqrt{\frac{l}{g}}$时刻小球与O点的距离．
（3）如果绳子能够承受足够大的拉力，为了保证小球能够在竖直平面内做完整的圆周运动，在水平位置至少要在竖直方向上给小球多大的初速度？

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出小球到达最高点时的速度；
（2）细线断裂后小球做类平抛运动，根据牛顿第二定律求出竖直方向的加速度，然后由平抛运动规律求解
（3）由牛顿第二定律求的最低点的速度，从水平位置到最低点由动能定理求得初速度

解答 解：（1）设小球运动到最高点时速度为v，对该过程由动能定理有：
（qE-mg）L=$\frac{1}{2}$mv²
解得：$v=\sqrt{4gL}$
（2）小球在细线断裂后，在竖直方向的加速度设为a，根据牛顿第二定律则：
a=$\frac{qE-mg}{m}$g     ③
小球水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，根据运动学公式，在t时刻：
x=vt=2L
y=$\frac{1}{2}at$
则小球与O点的距离：
d=$\sqrt{{x}^{2}+（y+L）^{2}}$
（3）在最低点的速度为v，则$qE-mg=\frac{m{v}^{2}}{L}$
v=$\sqrt{2gL}$
从水平位置到最低点由动能定理可得$-qEL+mgL=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
解得${v}_{0}=\sqrt{6gL}$
答：（1）小球运动最高点时的速度为$\sqrt{4gL}$；
（2）从断线开始计时，在t=$\sqrt{\frac{l}{g}}$时刻小球与O点的距离为$\sqrt{{x}^{2}+{（y+L）}^{2}}$．
（3）如果绳子能够承受足够大的拉力，为了保证小球能够在竖直平面内做完整的圆周运动，在水平位置至少要在竖直方向上给小球初速度为$\sqrt{6gL}$

点评 本题考查了动能定理和牛顿第二定律的综合运用，知道绳子断裂后，小球在沿电场方向和垂直于电场方向上的运动规律