Question

10．如图所示的平面直角坐标系xOy，在第I象限内有平行于x轴的匀强电场，方向沿+x轴方向，在第II象限的三角形区域PQM区域（含边界）内有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直xoy平面向里，一个带负电的粒子总是从P点沿+y轴方向射入磁场．已知P点坐标为（-L，0），Q点坐标为（-L，L），M点左边为（0，L），粒子的质量为m，电荷量为-q，不计粒子重力．

（1）若粒子从P点射入的速度大小为$\frac{qLB}{m}$，求粒子从P点射入到刚进入电场这段时间内平均速度的大小和方向；
（2）若粒子从P点以某一速度射入，最终从Q点离开磁场，此过程中，粒子在电场中电势能变化的最大值为多少？
（3）若粒子从P点射入后，最终能从x轴上P、O点间射出，则粒子从P点射入的最大速度为多少？

Answer 1

分析 （1）根据洛伦兹力提供向心力得到半径公式，结合已知求出粒子半径r，利用周期公式结合粒子转过的圆心角求出粒子运动时间，根据几何关系求出其运动的位移，与时间做比即可求出平均速度的大小，位移的方向即为平均速度的方向；
（2）画出粒子轨迹过程图，运用对称性画出粒子轨迹过程图，据洛伦兹力提供向心力与几何关系结合即可求出粒子速度最大值，进而可求粒子动能的最大值，而动能最小值为0，进而可以求出粒子动能的变化量，再根据能量守恒可知电势能和动能的和为一定值，电势能改变量的最大值即为动能该变量的最大值；
（3）找出粒子能从x轴上P、O点间射出的临界条件，即：轨迹恰好与边界PQ、边界QM相切，据洛伦兹力提供向心力与几何关系结合，即可求出粒子从P点射入的最大速度．

解答 （1）如图甲所示，粒子在磁场中做匀速圆周运动，

根据洛伦兹力提供向心力可得：$qvB=m\frac{v^2}{r}⇒r=\frac{mv}{Bq}$①
$T=\frac{2πr}{v}⇒T=\frac{2πm}{Bq}$②
由①式代入已知条件可得r=L③
粒子从P点射入磁场到M点，
位移：$s=\sqrt{2}r$④
时间：$t=\frac{1}{4}T$⑤
则粒子的平均速度：$\overline v=\frac{s}{t}$⑥
由②③④⑤⑥解得：$\overline v=\frac{{2\sqrt{2}qBL}}{πm}$
平均速度方向由P点指向M点
（2）如图乙所示，

分析可知，粒子从Q点射出的速度方向必沿+y方向，${r_1}=\frac{L}{2}$⑦
由①⑦联立解得：${v_1}=\frac{qBL}{2m}$⑧
电势能最大时，粒子动能为零，设电势能改变量为△E_p，根据能量守恒定律可得：$△{E_p}=\frac{1}{2}mv_1^2-0$⑨
由⑧⑨联立解得：$△{E_p}=\frac{{{q^2}{B^2}{L^2}}}{8m}$
（3）如图丙所示，

分析可知，粒子从P、O间以最大速度射出需满足：L=3r₂⑩
由①⑩联立解得：${v_2}=\frac{qBL}{3m}$
答：（1）若粒子从P点射入的速度大小为$\frac{qLB}{m}$，粒子从P点射入到刚进入电场这段时间内平均速度的大小为$\frac{2\sqrt{2}qBL}{πm}$，方向由P点指向M点；
（2）若粒子从P点以某一速度射入，最终从Q点离开磁场，此过程中，粒子在电场中电势能变化的最大值为$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{8m}$；
（3）若粒子从P点射入后，最终能从x轴上P、O点间射出，则粒子从P点射入的最大速度为$\frac{qBL}{3m}$．

点评 本题考查带电粒子在复合场中的运动，粒子在磁场中做匀速圆周运动，运用洛伦兹力提供向心力与几何关系结合的思路解决，粒子在电场中做匀变速直线运动，电场中的过程较为简单；第二问用到守恒的思想，势能和动能的和为一定值，动能该变量的最大值即为电势能改变量的最大值，解题关键是要画出粒子轨迹过程图，找到临界几何条件．