Question

14．2013年6月13日，搭载聂海胜、张晓光、王亚平3名航天员的“神舟十号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实现自动交会对接．对接后距离地面高度为h，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，求：
（1）地球的质量
（2）推导第一宇宙速度
（3）对接后天空一号的线速度大小．

Answer 1

分析 （1）已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，根据重力等于万有引力，求地球的质量．
（2）卫星绕地球表面附近做匀速圆周运动的速度即为第一宇宙速度，根据重力等于向心力求解．
（3）根据万有引力等于向心力和重力等于万有引力，结合解答．

解答 解：（1）物体在地面上，有：mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
可得地球的质量为：$M=\frac{{g{R^2}}}{G}$
（2）卫星绕地球表面附近做匀速圆周运动时，有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
则第一宇宙速度为：$V=\sqrt{gR}$
（3）对接后，对天空一号有：
G$\frac{Mm′}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R+h}$
又  $M=\frac{{g{R^2}}}{G}$
可得：$V=\sqrt{\frac{{g{R^2}}}{R+h}}$
答：（1）地球的质量是$\frac{g{R}^{2}}{G}$．
（2）推导第一宇宙速度$\sqrt{gR}$．
（3）对接后天空一号的线速度大小是$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$．

点评 天体的运动主要依靠万有引力定律充当向心力，故分析天体的运动时一定要先从这一点进行分析，再结合所学过的运动学知识解决问题．