Question

13．如图所示，AB为进入弯道前的一段平直公路，其长度x_AB=218m，BC为水平圆弧形弯道．摩托车在直道上行驶的最大速度v₁=40m/s，为确保弯道行车安全，摩托车进入弯道前必须减速，到达B点进入弯道时速度v₂不能超过20m/s，要求摩托车由静止开始在最短的时间内走完AB这段直道，已知摩托车启动时最大加速度a₁=4m/s²，制动时最大加速度a₂=8m/s²．试根据上述数据求摩托车在直道上行驶所用的最短时间．

Answer 1

分析 通过摩托车先匀加速到最大速度40m/s，在匀减速到20m/s经历的位移，得出总位移超过直道的长度，知摩托车不能达到最大速度40m/s．结合速度位移公式，抓住位移之和等于218m求出摩托车的最大速度，从而结合速度时间公式求出在直道所需的最短时间．

解答 解：摩托车由静止开始加速到直道直道最大速度${v}_{1}^{\;}$，则有${t}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}}{{a}_{1}^{\;}}=\frac{40}{4}s=10s$
这段时间内的位移为：${s}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}}{2}{t}_{1}^{\;}=200m$
然后减速到20m/s所需的时间${t}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}-{v}_{2}^{\;}}{{a}_{2}^{\;}}=2.5s$
这段时间内的位移为：${s}_{2}^{\;}=\frac{1}{2}（{v}_{1}^{\;}+{v}_{2}^{\;}）{t}_{2}^{\;}=75m$
则${s}_{1}^{\;}+{s}_{2}^{\;}=275m＞218m$，说明汽车不能加速到40m/s
设摩托车加速的最大速度为${v}_{m}^{\;}$，则加速阶段的位移为：${s}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{m}^{2}}{2{a}_{1}^{\;}}$
随后减速到${v}_{2}^{\;}$发生的位移为：${s}_{m}^{\;}=\frac{{v}_{m}^{2}-{v}_{2}^{2}}{2{a}_{2}^{\;}}$
且${s}_{1}^{\;}+{s}_{2}^{\;}=s$
代入数据解得：${v}_{m}^{\;}=36m/s$
所以，${t}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{m}^{\;}}{{a}_{1}^{\;}}=9s$
${t}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{m}^{\;}-{v}_{2}^{\;}}{{a}_{2}^{\;}}=2s$
摩托车在直道上行驶所用的最短时间为：t=t₁+t₂=11s．
答：摩托车在直道上行驶所用的最短时间为11s．

点评 解决本题的关键知道摩托车先加速某一速度，在减速到20m/s，所用时间最短，结合速度位移公式和速度时间公式进行求解．