Question

20．如图所示，是一传送装置，其中AB段粗糙，AB段长为L=1m，动摩擦因数u=0.5，BC、DEN段均可视为光滑，DEN是半径为r=0.5m的半圆形轨道，其直径DN沿竖直方向，C位于DN竖直线上，CD间的距离恰能让小球自由通过．其中N点又与足够长的水平传送带的右端平滑对接，传送带以4m/s的速率沿顺时针方向匀速转动，小球与传送带之间的动摩擦因数也为0.5．左端竖直墙上固定有一轻质弹簧，现用一可视为质点的小球压缩弹簧至A点后由静止释放（小球和弹簧不粘连），小球刚好能沿圆弧DEN轨道滑下，而始终不脱离轨道．已知小球质量m=0.2kg，g取10m/s²．
（1）求小球到达D点时速度的大小及弹簧压缩至A点时所具有的弹性势能；
（2）小球第一次滑上传送带到第一次离开传送带的过程中，在传送带上留下多长的痕迹？
（3）如果希望小球能沿着半圆形轨道上下不断地来回运动，且始终不脱离轨道，则传送带的速度应满足什么要求？

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律与能量守恒定律可以求出弹性势能．
（2）应用机械能守恒定律求出物块的速度，应用牛顿第二定律与运动学公式求出痕迹的长度．
（3）应用机械能守恒定律求出初速度，然后答题．

解答 解：（1）小球刚好能沿DEN轨道滑下，在圆周最高点D点，
由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{r}$，代入数据解得：v_D=$\sqrt{5}$m/s，
从A点到D点，由能量守恒得：E_p=μmgL+$\frac{1}{2}$mv_D²，
联立以上两式并代入数据解得：E_p=1.5J；
（2）从D到N，根据机械能守恒可得：
$\frac{1}{2}$mv_D²+mg•2r=$\frac{1}{2}$mv_N²，代入数据解得：v_N=5m/s，
在传送带上物块，由牛顿第二定律得：μmg=ma，
代入数据解得：a=5m/s²，
物块向左减速：v_N=at，
代入数据解得：t=1s，
物块向左运动的位移：s₁=$\frac{1}{2}$at²=2.5m，
传送带向右运动的位移为：S₂=vt=4×1=4m，
物块向右加速运动，物块与传送带速度相等的需要的时间：t′=$\frac{v}{a}$=0.8s，
物块向右加速运动的位移：S₃=$\frac{v}{2}$t′=1.6m，
传送带向右运动的位移：S₄=vt′=3.2m，
留下的痕迹为：△S=S₁+S₂+S₄-S₃=8.1m；
（3）设物块在传送带上返回到右端的速度为v₀，
若物块恰能冲到EF轨道圆心的等高处，
由动能定理得：$\frac{1}{2}$mv₀²=mgr，代入数据解得：v₀=$\sqrt{10}$m/s，
则传送带的速度必须满足：v₀≤$\sqrt{10}$m/s；
答：（1）小球到达D点时速度的大小为$\sqrt{5}$m/s，弹簧压缩至A点时所具有的弹性势能为1.5J；
（2）小球第一次滑上传送带后的减速过程中，在传送带上长为8.1m的痕迹．
（3）传送带的速度应满足的要求是：v₀≤$\sqrt{10}$m/s．

点评 本题考查了求速度、弹性势能、痕迹长度、传送带速度问题，分析清楚物体运动过程是正确解题的前提与关键，应用牛顿第二定律、运动学公式、能量守恒定律与机械能守恒定律即可正确解题．