Question

6．如图所示，棒AB的A端靠在竖直墙壁上，B端搁在水平地面上，棒长为2m，在棒的中点C处有一质量m=0.5kg的小物体被固定在棒上（小物块和C点均未画出），棒的两端可分别沿墙面和地面滑动．当棒的B端以v=3m/s的速度向左匀速滑动，棒与墙面的夹角θ为30°时，（g=10m/s²） 求：
（1）此时A端的速度V_A
（2）此时C点的速度V_C
（3）此时棒对C处小物体的作用力有多大？

Answer 1

分析 （1）由速度的合成与分解可以求出A点沿墙竖直向下的速度大小，要注意的是关联AB两点的速度是沿AB方向的分量是相等的．
（2）分析可知C点是以墙角为圆心，以棒长一半为半径r=1m做圆周运动（斜边的中线等于斜边的一半），再由速度的合成与分解从而求出C点的速度．
（3）由于求出了C点此该做圆周运动的速度，从而也求出了此刻的向心加速度，而向心加速是由重力和棒对C物体的作用合力的分量提供，所以求出向心加速度沿竖直方向的分量，再由牛顿第二定律求出棒对C物体的作用．

解答 解：（1）由运动的合成和分解可知B点此时沿棒方向速度分量为V₁=Vsinθ
  由杆连接特点可知A点此时沿棒方向速度分量也为V₁=Vsinθ
  则A点此时速度$V{\;}_A=\frac{V_I}{cosθ}=Vtanθ=\frac{{\sqrt{3}}}{3}V=\sqrt{3}m/s$
  方向沿竖直墙向下
（2）分析可知C点是以墙角为圆心，以棒长一半为半径r=1m做圆周运动，V_C方向为该点的切线方
  由杆连接特点可知C点此时沿棒方向速度分量也为V₁=Vsinθ
  （或因为B点始终是匀速运动，则C点水平方向分速度始终也为V/2）则可得$V{\;}_C=\frac{Vsinθ}{cosθ}=\sqrt{3}m/s$
（3 ）由于物块随C做圆周运动，则其此时的向心加速度为a_n
  且${a_n}=\frac{{{V_C}^2}}{r}=3m/{s^2}$
  而m在水平方向一直是匀速运动，m水平方向不受棒的作用力，则棒给m的作用力一定是沿竖直方向，
  这个力F和物块的重力的合力使m的加速度一定是沿竖直方向，则$a=\frac{a_n}{cosθ}=2\sqrt{3}m/{s^2}$
  由牛顿第二定律：F+mg=ma
  解得F=-（5-$\sqrt{3}$）N=-3.27N
  则此时棒对C处小物体的作用力大小为3.27N，方向竖直向上．
答：（1）此时A端的速度V_A为$\sqrt{3}$m/s．
（2）此时C点的速度V_C为$\sqrt{3}$ m/s．
（3）此时棒对C处小物体的作用力大小为3.27N，方向竖直向上．

点评 本题的靓点在于：①当杆沿墙下滑时，A、B两点速度是通过沿杆的分量联系起来的，由速度的合成就能求出A点下滑的速度．②令人费解的是C点的运动是圆周运动，由于C点到墙角的距离不变，则C点绕墙角做圆周运动．③此该C点速度由同上的方向可以求出，则向心加速度能求出，从而也求出沿竖直方向的分量，在此方向上应用牛顿第二定律就能求出棒对C物体的作用力．