Question

20．我国志愿者王跃曾与俄罗斯志愿者一起进行“火星-500”的实验活动．假设王跃登陆火星后，测得火星的半径是地球半径的$\frac{1}{2}$，质量是地球质量的$\frac{1}{9}$．已知引力常量为G，地球表面的重力加速度是g，地球的半径为R，王跃在地面上能向上竖直跳起的最大高度是h，忽略自转的影响，下列说法不正确的是（　　）

• A． 火星的密度为$\frac{2g}{3πGR}$
• B． 火星表面的重力加速度是$\frac{2g}{9}$
• C． 火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为$\frac{2}{3}$
• D． 王跃以与在地球上相同的初速度在火星上起跳后，能达到的最大高度是$\frac{9h}{2}$

Answer 1

分析 根据万有引力等于重力得出重力加速度之比，结合万有引力等于重力求出火星的质量，从而得出火星的密度．根据万有引力提供向心力求出第一宇宙速度之比．根据初速度相等，结合速度位移公式，通过重力加速度之比求出上升的最大高度之比．

解答 解：A、根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，星球表面的重力加速度g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，因为火星的半径是地球半径的$\frac{1}{2}$，质量是地球质量的$\frac{1}{9}$，则火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的$\frac{4}{9}$，即火星表面的重力加速度为$\frac{4}{9}g$，因为火星的半径为$\frac{1}{2}R$，根据$G\frac{{M}_{火}m}{（\frac{1}{2}R）^{2}}=m\frac{4}{9}g$，解得火星的质量${M}_{火}=\frac{1}{9}g{R}^{2}$，则火星的密度$ρ=\frac{{M}_{火}}{\frac{4}{3}π{（\frac{R}{2}）}^{3}}=\frac{\frac{1}{9}g{R}^{2}}{\frac{4}{3}π{（\frac{R}{2}）}^{3}}=\frac{2g}{3πGR}$，故A正确，B错误．
C、根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，则第一宇宙速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，因为火星的半径是地球半径的$\frac{1}{2}$，质量是地球质量的$\frac{1}{9}$，则火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的$\frac{\sqrt{2}}{3}$倍，故C错误．
D、根据$h=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g}$知，火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的$\frac{4}{9}$，知在火星上起跳能达到的最大高度为$\frac{9}{4}h$．故D错误．
本题选错误的，故选：BCD．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力、万有引力等于重力这两个重要的理论，并能灵活运用，难度不大．