Question

如图所示，皮带传动装置与水平面夹角为30°，两轮轴心相距L=3.8m，A、B分别为传送带与两轮的切点，轮缘与传送带之间不打滑。一个质量为0.1kg的小物块与传送带间的动摩擦因数为μ=  ，g取10m/s²。

（1）当传送带沿逆时针方向以v₁=3m/s的速度匀速运动时，将小物块无初速地放在A点后，它运动至B点需多长时间？

（2）当传送带沿逆时针方向匀速运动时，小物块无初速地放在A点下方5cm处的C点，运动至B点飞出。要想使小物块在传送带上运动的时间最短，则传送带匀速运动的速度v₂至少多大？以v₂运动时，小物块与传送带间的相对路程为多少？

Answer 1

解答：（1）当小物块速度小于3m/s时，小物块受到竖直向下、垂直传送带向上的支持力和沿传送带斜向下的摩擦力作用，做匀加速直线运动，设加速度为a₁，根据牛顿第二定律

mgsin30° + μmgcos30°=ma₁  解得 a₁ = 7.5m/s²                           2分

当小物块速度等于3m/s时，设小物块对地位移为L₁，用时为t₁，根据匀加速直线运动规律

t₁ =        L₁ =                                                  2分       

解得 t₁ = 0.4s                                                         1分

L₁ = 0.6m                                                            

由于L₁＜L 且μ＜tan30°，当小物块速度大于3m/s时，小物块将继续做匀加速直线运动至B点，设加速度为a₂，用时为t₂，根据牛顿第二定律和匀加速直线运动规律

mgsin30°－μmgcos30°=ma₂                                                                  2分

解得  a₂ = 2.5m/s²        L－L₁ = v₁t₂ + a₂t₂²                                         1分

解得 t₂ = 0.8s

故小物块由静止出发从A到B所用时间为 t = t₁ + t₂ = 1.2s                  2分

（2）作v—t图分析知：传送带匀速运动的速度越大，小物块从A点到B点用时越短，当传送带速度等于某一值v′ 时，小物块将从A点一直以加速度a₁做匀加速直线运动到B点，所用时间最短，即

L = a₁t_min²                                                                                   2分

解得t_min = 1s

v′ =a₁t_min =7.5m/s                                                   2分

此时小物块和传送带之间的相对路程为 △S = v′ t－L = 3.75m            2分

【思路点拨】本题求解的关键是物块的速度与传送带的速度比较，当物块速度小于或等于传送带速度时，物块所受摩擦力方向沿斜面方向向下，当大于时物块所受摩擦力方向沿斜面方向向上，由此进行受力分析，根据牛顿第二定律求加速度，再依据匀变速运动规律求时间。第二问要求最短时间，摩擦力方向沿斜面向下，加速度为：mgsin30° + μmgcos30°=ma₁  解得 a₁ = 7.5m/s²是物块一直作匀加速从A运动到B。小物块与传送带间的相对路程，是皮带在这段时间匀速运动的位移与CB距离之差。