Question

5． 如图为半径为R的半球玻璃体的横截面，圆心为O，MN为过圆心的一条竖直直线．现有一单色光沿截面射向半球面，方向与底面垂直，入射点为B，且∠AOB=60°．已知该玻璃的折射率为$\sqrt{3}$，求：
（1）光线PB经半球体折射后出来的光线与MN直线的交点到顶点A的距离并作出光路图；
（2）光线PB以B点为轴，从图示位置沿顺时针方向逐渐旋转60°的过程，请说出光线在经半球体的底面第二次折射时会有什么情况发生？

Answer 1

分析 （1）先根据折射定律求出光线在玻璃半圆柱体B点的折射角，由几何知识求出光线射到半球面底面上的入射角，由折射定律求出射光线的折射角，再由几何知识求出射光线与与MN直线的交点到顶点A的距离，作出光路图．
（2）由公式sinC=$\frac{1}{n}$求出临界角C，将入射角与临界角C比较，分析光线在经半球体的底面第二次折射时能否发生全反射．

解答 解：（1）由分析图知：i=60°，根据折射率公式 $n=\frac{sini}{sinr}$
代入数据求得 r=30°
由几何知识得：△OCB是等腰三角形，光线射到半球体的底面时入射角等于30°，根据光路的可逆性原理得 r′=60^o
由几何关系解得 $OC=\frac{{\frac{1}{2}R}}{{cos{{30}^o}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}R$
OD=OCtan30°=$\frac{1}{3}$R
故$AD=R+OD=\frac{4}{3}R$，画出光路图如图．
（2）当光线PB沿顺时针方向旋转60°时，光线沿直线射到O点，入射角为60°．
由sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得全反射临界角 C＜60°
则光线经第二次折射时由光密介质进入光疏介质，且入射角大于临界角，会有全反射现象发生．  
答：
（1）光线PB经半球体折射后出来的光线与MN直线的交点到顶点A的距离是$\frac{1}{3}$R，作出光路图如图．
（2）光线经第二次折射时会有全反射现象发生．

点评 本题的解题关键是作出光路图，运用几何知识帮助求解相关角度或距离．要掌握全反射的条件，要知道两个条件缺一不可．