Question

【题目】（1）光电效应和康普顿效应揭示了光的粒子性的一面。前者表明光子具有能量，后者表明光子除了具有能量之外还具有动量。由狭义相对论可知，一定的质量m与一定的能量E相对应：E=mc2，其中c为真空中光速。已知某单色光的频率为v，波长为，该单色光光子的能量E=hv，其中h为普朗克常量。试借用动量的定义：动量=质量×速度，推导该单色光光子的动量p=。

（2）根据玻尔理论，电子绕氢原子核运动可以看作是仅在库仑引力作用下的匀速圆周运动。电子在不同的轨道上绕核做匀速圆周运动，对应着氢原子的不同能量状态，电子做圆周运动的轨道半径满足rn=n2r1，其中n为量子数，即轨道序号，rn为电子处于第n轨道时的轨道半径。电子在第n轨道运动时氢原子的能量En为电子动能与“电子-原子核”这个系统电势能的总和。理论证明，系统的电势能Ep和电子绕氢原子核做圆周运动的半径r存在关系：

Ep=-k（以无穷远为电势能零点）。

已知电子的电荷量为e，质量为m，静电力常量为k，电子在第1轨道运动的半径为r1，氢原子的基态能量为E1，请根据以上条件完成下面的问题：

①试证明电子在第n轨道运动时氢原子的能量En和电子在第1轨道运动时氢原子的能量E1满足关系式En=；

②假设氢原子甲核外做圆周运动的电子从第2轨道跃迁到第1轨道的过程中所释放的能量，恰好被量子数n=4的氢原子乙吸收并使其电离，即其核外在第4轨道做圆周运动的电子脱离氢原子核的作用范围。不考虑电离前后原子核的动能改变，试求氢原子乙电离后电子的动能。

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）

【解析】(1) 光子的能量：E=mc2

光子的动量：p=mc

可得：

(2)设电子在第1轨道上运动的速度大小为v1，根据牛顿第二定律有

电子在第1轨道运动的动能：

电子在第1轨道运动时氢原子的能量

同理，电子在第n轨道运动时氢原子的能量

又因为

则有，命题得证.

由(1)可知，电子在第1轨道运动时氢原子的能量

电子在第2轨道运动时氢原子的能量

电子从第2轨道跃迁到第1轨道所释放的能量

电子在第4轨道运动时氢原子的能量

设氢原子电离后电子具有的动能为，根据能量守恒有：

解得：