Question

有个演示实验，在上下面都是金属板的玻璃盒内，放了许多锡箔纸揉成的小球，当上下板间加上电压后，小球就上下不停地跳动．现取以下简化模型进行定量研究．
如图所示，电容量为C的平行板电容器的极板A和B水平放置，相距为d，与电动势为ε、内阻可不计的电源相连．设两板之间只有一个质量为m的导电小球，小球可视为质点．已知：若小球与极板发生碰撞，则碰撞后小球的速度立即变为零，带电状态也立即改变，改变后，小球所带电荷符号与该极板相同，电量为极板电量的α倍（α＜1）．不计带电小球对极板间匀强电场的影响．重力加速度为g．
（1）欲使小球能够不断地在两板间上下往返运动，电动势ε至少应大于多少？
（2）设上述条件已满足，在较长的时间间隔T内小球做了很多次往返运动．求在T时间内小球往返运动的次数以及通过电源的总电量．

Answer 1

（1）用Q表示极板电荷量的大小，q表示碰后小球电荷量的大小．要使小球能不停地往返运动，小球所受的向上的电场力至少应大于重力，则
q

?

d

＞mg
其中  q=αQ
又有Q=Cε
由以上三式有  ε＞

mgd aC

；
电动势至少为

mgd aC

；
（2）当小球带正电时，小球所受电场力与重力方向相同，向下做加速运动．以a₁表示其加速度，t₁表示从A板到B板所用的时间，则有
q

?

d

+mg=ma₁
d=

1

2

a₁t₁²
当小球带负电时，小球所受电场力与重力方向相反，向上做加速运动，以a₂表示其加速度，t₂表示从B板到A板所用的时间，则有
q

?

d

-mg=ma₂
d=

1

2

a₂t₂²
小球往返一次共用时间为（t₁+t₂），故小球在T时间内往返的次数
n=

T

t1+t2

由以上关系式得n=

T

2md2 aC?2+mgd + 2md2 aC?2-mgd

小球往返一次通过的电量为2q，
在T时间内通过电源的总电量Q'=2qn
由以上两式可得
Q'=

2aC?T

2md2 aC?2+mgd + 2md2 aC?2-mgd

；
往返次数为

T

2md2 aC?2+mgd + 2md2 aC?2-mgd

，T内通过电源的总电量为

2aC?T

2md2 aC?2+mgd + 2md2 aC?2-mgd

．