Question

1．如图所示为某种弹射小球的游戏装置，水平面上固定一轻质弹簧及长度可调节的竖直管AB．细管下端接有一小段长度不计的圆滑弯管，上端B与四分之一圆弧弯管BC相接，每次弹射前，推动小球将弹簧压缩到同一位置后锁定．解除锁定，小球即被弹簧弹出，水平射进细管A端，再沿管ABC从C端水平射出．已知弯管BC的半径R=0.30m，小球的质量为m=50g，当调节竖直细管AB的长度L至L₀=0.90m时，发现小球恰好能过管口C端．不计小球运动过程中的机械能损失．

（1）求每次弹射时弹簧对小球所做的功W；
（2）当L取多大时，小球落至水平面的位置离直管AB最远？
（3）调节L时，小球到达管口C时管壁对球的作用力F_N也相应变化，考虑到游戏装置的实际情况，L不能小于0.15m，请在答题卷的坐标纸上作出F_N随长度L变化的关系图线．（取管壁对球的作用力F_N方向向上为正，并要求在纵轴上标上必要的刻度值．）

Answer 1

分析 （1）小球恰好能过管口C端，可知小球在C点的临界速度为0，根据动能定理求得小球弹射时弹簧对小球做的功；
（2）小球离开C点做平抛运动，根据小球射程公式求出小球射程与L的关系，由数学关系式求射程最大时对应L的数值；
（3）小球通过C时临界速度为$\sqrt{gR}$时，小球对管道壁没有作用力，大于临界速度时对上管壁有压力，小球临界速度时对下管壁有压力，根据动能定理求出经过C点的速度，根据牛顿第二定律求出管壁对球的作用力与长度L的关系．

解答 解：（1）小球恰好能到达管口C时说明小球到达C时速度恰好为零，故小球在弹射至上升到管口C的过程中只有重力和弹簧对小球做功，根据动能定理有：
W+W_G=0-0
所以弹簧对小球做的功W=-W_G=$mg（{L}_{0}+R）=50×1{0}^{-3}×10×（0.9+0.3）J$=0.6J
（2）小球离开C点做平抛运动，小球落地至水平面位置离直管AB最远时，也就是小球的射程最大，则根据动能定理令时时管长为L，则
要根据动能定理有：$W-mg（L+R）=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-0$
可得${v}_{C}=\sqrt{\frac{2【W-mg（L+R）】}{m}}$
所以小球离开C点做平抛运动的射程
x=${v}_{C}\sqrt{\frac{2（R+L）}{g}}$=$\sqrt{\frac{2[W-mg（L+R）]}{m}•\frac{2（R+L）}{g}}$=$\sqrt{\frac{2[0.6-0.05×10×（L+0.3）]}{0.05}×\frac{2（0.3+L）}{10}}$
由数学关系知，当L=0.3m时，x有最大值2.08m
由于小球从C点开始平抛，故小离落地点离AB管最远距离为2.38m；
（3）小球到达C点时的速度${v}_{C}=\sqrt{\frac{2【W-mg（L+R）】}{m}}$，取向上为正方向则在竖直方向上的合力提供小球在C点圆周运动的向心力：
$mg-{F}_{N}=m\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
可得${F}_{N}=mg-m\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$=$\frac{10L}{3}-\frac{5}{2}$（0.15≤L≤0.9）
由此作出F_N-L图象有：

答：（1）求每次弹射时弹簧对小球所做的功W为0.6J；
（2）当L取0.3m时，小球落至水平面的位置离直管AB最远；
（3）调节L时，小球到达管口C时管壁对球的作用力F_N也相应变化，考虑到游戏装置的实际情况，L不能小于0.15m，请在答题卷的坐标纸上作出F_N随长度L变化的关系图线．

点评 本题考查了圆周运动最高点的动力学方程和平抛运动规律，掌握小球能过最高点的临界条件，注意掌握过最高点时的绳球模型和杆球模型临界条件的不同．