Question

19．一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞，图所示，试证明碰后两球的运动方向互相垂直．

Answer 1

分析 以初速度的方向为x轴，以垂直于初速度的方向为y轴建立平面直角坐标系，将碰撞后的速度分别沿坐标轴的方向分解，然后由动量守恒定律和机械能守恒定律分析解答即可．

解答 证明：以初速度的方向为x轴，以垂直于初速度的方向为y轴建立平面直角坐标系，设碰撞后v₁与x轴之间的夹角为α，v₂与x轴之间的夹角为β，如图：
沿y方向，由动量守恒定律得：mv₂sinβ-mv₁sinα=0
所以：${v}_{2}=\frac{{v}_{1}sinα}{{v}_{2}sinβ}$    ①
沿x方向由动量守恒定律得：mv₀=mv₁cosα+mv₂cosβ   ②
联立①②可得：v₀=v₁cosα+v₂cosβ=${v}_{1}（cosα+\frac{sinαvosβ}{sinβ}）$=$\frac{{v}_{1}}{sinβ}（cosαsinβ+sinαcosβ）$  ④
又碰撞的过程中机械能守恒，得：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$   ⑤
由⑤得：${v}_{0}^{2}={v}_{1}^{2}+{v}_{2}^{2}$  ⑥
可知v₀与v₁、v₂之间满足勾股定理，比较④⑥两式，可得：v₁的方向一定与v₂的方向垂直．
证明毕．

点评 该题考查平面内的二维方向上的动量守恒定律，属于大学物理学的内容，在高中的物理竞赛中偶有涉及．该题以考查向量的合成与分解为主，在做题的时候要慎重选择．